Considere a seguinte parábola y=4 x-x^2.
Encontre a inclinação da reta tangente à parábola dada no ponto (1,3). Use as duas formas apresentadas nas aulas para encontrar a inclinação da reta tangente à curva, ou seja:
m=lim x a f(x)-f(a)x-a e m=lim h 0 f(a+h)-f(a)h

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a inclinação da reta tangente à parábola no ponto . Estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, especificamente com o conceito de derivada usando limites. Para resolver, vamos usar duas formas de calcular o limite da diferença que dá a inclinação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a função que estamos analisando: . O ponto dado é , então e .

Passo 3

Vamos usar a primeira forma da derivada:
m = limx a f(x) - f(a)x - a
Substituindo m = limx 1 f(x) - f(1)x - 1 :

Passo 4

Agora, substituímos m = limx 1 (4x - x^2) - 3x - 1 = limx 1 4x - x^2 - 3x - 1 e 4x - x^2 - 3 = -x^2 + 4x - 3 na expressão:
-x^2 + 4x - 3 = -(x^2 - 4x + 3) = -(x - 1)(x - 3)
Simplificando o numerador:
m = limx 1 -(x - 1)(x - 3)x - 1 = limx 1 - (x - 3) = - (1 - 3) = 2
Fatorando:
Então:

Passo 5

Vamos agora usar a segunda forma da derivada:
m = limh 0 f(a + h) - f(a)h
Substituindo m = limh 0 f(1 + h) - f(1)h :

Passo 6

Calculando f(1 + h) = 4(1 + h) - (1 + h)^2 = 4 + 4h - (1 + 2h + h^2) = 4 + 4h -1 -2h -h^2 = 3 + 2h - h^2 :
m = limh 0 (3 + 2h - h^2) - 3h = limh 0 2h - h^2h
Substituindo na expressão do limite:
m = limh 0 h(2 - h)h = limh 0 (2 - h) = 2
Simplificando:

Resposta

A inclinação da reta tangente à parábola no ponto é 2.

Exercícios relacionados

-8 + 12
Revisão de derivada. Calcule y' nos seguintes casos:
e) y = (t^4 - 1) / (t^4 + 1)
Calcule: -8 - 7
Encontre a equação da reta
tangente ao gráfico de y = x^(5 / 2) - raiz(x), no ponto de abscissa x = 64;