Encontre a equação da reta
tangente ao gráfico de , no ponto de abscissa ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa achar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto onde a abscissa (o valor de ) é 64. Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente o conceito de derivada, que nos ajuda a achar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de quando . Isso vai nos dar o ponto exato no gráfico onde a reta tangente vai tocar.
Passo 3
Calculando : Primeiramente, . Depois, elevamos 8 à quinta potência:
Agora, calculando .
Então,
Portanto, o ponto de tangência é .
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada da função , que nos dará a inclinação da reta tangente em qualquer ponto .
A derivada de é . Então:
Passo 5
Vamos calcular a derivada no ponto para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto.
Passo 6
Calculando : Primeiro, , então .
Calculando .
Substituindo:
Mas para simplificar, vamos manter como fração:
Então, a inclinação da reta tangente é .
Passo 7
Agora que temos o ponto de tangência e a inclinação , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Passo 8
Podemos deixar a equação nessa forma ou simplificar para a forma geral. Vamos simplificar: