Considere a seguinte Proposição: Se a e b são inteiros tais que a é par e b é ímpar, então a + b é ímpar.
a) Identifique o erro na demonstração a seguir. Demonstração: Como a é par, então a = 2 k para algum inteiro k. Logo a + b = 2k + b e, se este número é ímpar, então existe um inteiro k' tal que a + b = 2 k' + 1, isto é, 2k + b = 2k' + 1. Assim, b = 2 k' + 1 - 2 k = 2 * (k' - k) + 1, que é ímpar pois k' - k é um inteiro.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma proposição que diz: “Se e são inteiros tais que é par e é ímpar, então é ímpar.” O exercício quer que a gente identifique o erro na demonstração apresentada. Para isso, vamos precisar entender conceitos básicos de números pares e ímpares e como eles se comportam na soma.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um número par e um número ímpar. Um número é par se pode ser escrito como , onde é um inteiro. Já um número é ímpar se pode ser escrito como , onde é um inteiro.

Passo 3

Agora, vamos analisar a demonstração que foi fornecida:
  1. A demonstração começa dizendo que, como é par, então para algum inteiro . Certo até aqui.
  2. Depois, afirma que . Até aqui, ainda está correto.
  3. A demonstração então assume que é ímpar e diz que, portanto, existe um inteiro tal que . Isso já está começando a ter um problema.

Passo 4

O erro está na estrutura lógica da demonstração. A demonstração está assumindo o que quer provar. Ou seja, ela está dizendo “se é par e é ímpar, então é ímpar”, mas na tentativa de provar isso, ela começa assumindo que é ímpar para chegar a alguma conclusão sobre . Isso não ajuda a provar a proposição original, pois estamos voltando ao que já sabemos que é ímpar. É um ciclo que não leva a uma conclusão válida.

Passo 5

Para provar corretamente a proposição, deveríamos partir das premissas dadas ( é par e é ímpar) e, usando essas informações, demonstrar que necessariamente resulta em um número ímpar, sem assumir a conclusão que queremos chegar.

Resposta

O erro na demonstração é que ela assume que é ímpar para então concluir que é ímpar, criando um ciclo lógico que não prova a proposição original. Ou seja, a demonstração está “fechando o círculo” ao assumir o que deveria ser demonstrado.

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