Considere a seguinte Proposição: Se
e
são inteiros tais que
é par e
é ímpar, então
é ímpar.
a) Identifique o erro na demonstração a seguir. Demonstração: Como a é par, então
para algum inteiro
. Logo
e, se este número é ímpar, então existe um inteiro
tal que
, isto é,
. Assim,
, que é ímpar pois
é um inteiro.
a) Identifique o erro na demonstração a seguir. Demonstração: Como a é par, então
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma proposição que diz: “Se
e
são inteiros tais que
é par e
é ímpar, então
é ímpar.” O exercício quer que a gente identifique o erro na demonstração apresentada. Para isso, vamos precisar entender conceitos básicos de números pares e ímpares e como eles se comportam na soma.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um número par e um número ímpar. Um número é par se pode ser escrito como
, onde
é um inteiro. Já um número é ímpar se pode ser escrito como
, onde
é um inteiro.
Passo 3
Agora, vamos analisar a demonstração que foi fornecida:
- A demonstração começa dizendo que, como
é par, então para algum inteiro . Certo até aqui. - Depois, afirma que
. Até aqui, ainda está correto. - A demonstração então assume que
é ímpar e diz que, portanto, existe um inteiro tal que . Isso já está começando a ter um problema.
Passo 4
O erro está na estrutura lógica da demonstração. A demonstração está assumindo o que quer provar. Ou seja, ela está dizendo “se
é par e
é ímpar, então
é ímpar”, mas na tentativa de provar isso, ela começa assumindo que
é ímpar para chegar a alguma conclusão sobre
. Isso não ajuda a provar a proposição original, pois estamos voltando ao que já sabemos que
é ímpar. É um ciclo que não leva a uma conclusão válida.
Passo 5
Para provar corretamente a proposição, deveríamos partir das premissas dadas (
é par e
é ímpar) e, usando essas informações, demonstrar que
necessariamente resulta em um número ímpar, sem assumir a conclusão que queremos chegar.
Resposta
O erro na demonstração é que ela assume que
é ímpar para então concluir que
é ímpar, criando um ciclo lógico que não prova a proposição original. Ou seja, a demonstração está “fechando o círculo” ao assumir o que deveria ser demonstrado.