Dado um inteiro n, prove que n^3 é ímpar se, e somente se, n é ímpar.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para provar que, para um número inteiro , é ímpar se, e somente se, é ímpar. Isso envolve conceitos da teoria dos números, especificamente as propriedades de números pares e ímpares. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um número ser par ou ímpar e como essas propriedades se comportam ao elevarmos o número ao cubo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um número ser ímpar. Um número inteiro é ímpar se pode ser escrito como , onde é algum inteiro. Nosso objetivo é mostrar duas coisas:
  1. Se é ímpar, então é ímpar.
  2. Se é ímpar, então é ímpar.
Ao provar essas duas afirmações, estaremos completando a prova “se e somente se”.

Passo 3

1. Se é ímpar, então é ímpar.
Assumimos que é ímpar, então por definição, para algum inteiro .
Calculando :
Observamos que é múltiplo de 2, ou seja, par. Portanto, , onde é algum inteiro. Isso mostra que é ímpar.

Passo 4

2. Se é ímpar, então é ímpar.
Vamos usar o método da contrapositiva. A contrapositiva de “se é ímpar, então é ímpar” é “se é par, então é par”.
Assumimos que é par, então pode ser escrito como , onde é inteiro.
Calculando :
Como é múltiplo de 2, ele é par. Portanto, se é ímpar, então não pode ser par, ou seja, é ímpar.

Resposta

Portanto, mostramos que é ímpar se, e somente se, é ímpar.

Exercícios relacionados