Considere as seguintes afirmações:
i. as distribuições de Bernoulli e Binomial apresentam as mesmas características e, portanto, os mesmos parâmetros;
ii. repetições independentes de um ensaio de Bernoulli, com a mesma probabilidade de ocorrência de sucesso, dão origem ao modelo Binomial;
iii. o Teorema do Limite Central garante que, para n suficientemente grande, a distribuição de Bernoulli pode ser aproximada pela distribuição de Poisson.
Está correto o que se afirma em
a) i, apenas.
b) ii, apenas.
c) i e ii, apenas.
d) ii e iii, apenas.
e) iii, apenas.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três afirmações sobre as distribuições de Bernoulli, Binomial e Poisson, além do Teorema do Limite Central. Precisamos verificar quais dessas afirmações estão corretas para escolher a alternativa certa.

Passo 2

Afirmação i: As distribuições de Bernoulli e Binomial apresentam as mesmas características e, portanto, os mesmos parâmetros.
Vamos entender o que são essas distribuições:
  • Distribuição de Bernoulli: É a distribuição mais simples, que representa um único experimento (ou ensaio) com dois possíveis resultados: sucesso (com probabilidade $ p $) ou fracasso (com probabilidade $ 1 - p $).
  • Distribuição Binomial: É uma generalização da Bernoulli. Ela representa a soma de $ n $ ensaios de Bernoulli independentes, cada um com a mesma probabilidade de sucesso $ p $.
Agora, a afirmação diz que elas têm as mesmas características e parâmetros. Isso não é totalmente verdadeiro, porque a Binomial tem dois parâmetros ($ n $ e $ p p p $). Além disso, a Bernoulli é um caso especial da Binomial quando $ n = 1 $.
Conclusão: A afirmação i está incorreta.

Passo 3

Afirmação ii: Repetições independentes de um ensaio de Bernoulli, com a mesma probabilidade de ocorrência de sucesso, dão origem ao modelo Binomial.
Como vimos, a distribuição Binomial é exatamente a soma de $ n $ ensaios de Bernoulli independentes com a mesma probabilidade de sucesso $ p $. Ou seja, se você fizer vários ensaios de Bernoulli e somar os sucessos, a distribuição resultante será Binomial.
Conclusão: A afirmação ii está correta.

Passo 4

Afirmação iii: O Teorema do Limite Central garante que, para $ n $ suficientemente grande, a distribuição de Bernoulli pode ser aproximada pela distribuição de Poisson.
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema do Limite Central (TLC). O TLC afirma que, para um número grande de ensaios independentes, a distribuição da soma desses ensaios se aproxima de uma distribuição normal, independentemente da distribuição original dos ensaios.
A distribuição de Poisson é usada para modelar o número de eventos que ocorrem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, especialmente quando esses eventos ocorrem com uma taxa média conhecida e de forma independente.
No entanto, a afirmação iii mistura conceitos. O TLC não garante que a distribuição de Bernoulli se aproxime de Poisson para $ n $ grande. Na verdade, a distribuição de Poisson pode aproximar a Binomial quando $ n $ é grande e $ p $ é pequeno, de forma que $ np $ seja constante.
Conclusão: A afirmação iii está incorreta.

Resposta

Apenas a afirmação ii está correta. Portanto, a alternativa correta é b) ii, apenas.

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