Dados histórios mostram 5 % dos itens provindos de um fornecedor apresentam algum tipo de defeito. Considerando um lote com 20 itens, calcule a probabilidade de:
c) haver mais de dois itens defeituosos;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala que 5% dos itens de um fornecedor têm defeito. Temos um lote de 20 itens e queremos saber a probabilidade de que mais de dois deles estejam defeituosos. Vamos usar o conceito de Probabilidade Binomial, que é ótimo para calcular chances em situações com dois resultados possíveis (como defeito ou não defeito).

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a Distribuição Binomial. Ela é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes (nesse caso, 20 itens), cada uma com duas opções possíveis: sucesso (item defeituoso) ou fracasso (item bom). A probabilidade de sucesso é constante em cada tentativa, que aqui é 5% ou 0,05.

Passo 3

A fórmula da probabilidade binomial é:
P(k) = binomnk times p^k times (1-p)^n-k
Onde:
  • $ n = 20 $ (número de itens)
  • $ k $ é o número de itens defeituosos
  • $ p = 0,05 $ (probabilidade de um item ser defeituoso)

Passo 4

Queremos achar a probabilidade de mais de dois itens defeituosos, ou seja, $ P(k > 2) $. Isso é igual a 1 menos a probabilidade de ter no máximo dois itens defeituosos:
P(k > 2)

Passo 5

Vamos calcular $ P(k \leq 2) $, que é a soma das probabilidades de ter 0, 1 ou 2 itens defeituosos:
P(k <= 2)

Passo 6

Calculando cada termo:
  • Para $ k = 0 $:
k = 0
  • Para $ k = 1 $:
P(0) = binom200 times 0,05^0 times 0,95^20 = 1 times 1 times 0,95^20 approx 0,3585
  • Para $ k = 2 $:
k = 1

Passo 7

Somando as probabilidades:
P(k <= 2) approx 0,3585 + 0,3774 + 0,1887 = 0,9246

Passo 8

Agora, calculamos a probabilidade de mais de dois defeituosos:
P(k > 2) = 1 - 0,9246 = 0,0754

Resposta

A probabilidade de haver mais de dois itens defeituosos no lote de 20 é de aproximadamente 7,54%.

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