Dados histórios mostram
dos itens provindos de um fornecedor apresentam algum tipo de defeito. Considerando um lote com 20 itens, calcule a probabilidade de:
b) haver exatamente dois itens defeituosos;
b) haver exatamente dois itens defeituosos;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que 5% dos itens de um fornecedor têm algum defeito. A gente tem um lote de 20 itens e precisa descobrir qual a chance de exatamente 2 deles serem defeituosos. Isso entra no conteúdo de Probabilidade, mais especificamente na Distribuição Binomial. Vamos usar essa ferramenta para resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a Distribuição Binomial. Ela serve para calcular a probabilidade de ocorrer exatamente k sucessos em n tentativas, quando cada tentativa tem uma probabilidade fixa de sucesso. No nosso caso, “sucesso” significa encontrar um item defeituoso.
A fórmula da Distribuição Binomial é:
Onde:
- $ P(k) $ é a probabilidade de exatamente k sucessos.
- $ C(n, k) $ é a combinação de n elementos tomados k a k.
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma tentativa.
- $ n $ é o número total de tentativas.
- $ k $ é o número de sucessos desejados.
Passo 3
Vamos identificar os valores que temos:
- $ n = 20 $ (total de itens)
- $ k = 2 $ (itens defeituosos que queremos)
- $ p = 0.05 $ (5% de defeito)
Agora, vamos substituir esses valores na fórmula.
Passo 4
Primeiro, precisamos calcular $ C(20, 2) $, que é o número de maneiras de escolher 2 itens defeituosos dentre 20. A fórmula de combinação é:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular cada parte da fórmula:
- $ p^k = 0.05^2 = 0.0025 $
- $ (1 - p)^{n - k} = 0.95^{18} \approx 0.407 $
Multiplicando tudo:
Resposta
A probabilidade de exatamente dois itens serem defeituosos é aproximadamente 19,4%.