Dados histórios mostram 5 % dos itens provindos de um fornecedor apresentam algum tipo de defeito. Considerando um lote com 20 itens, calcule a probabilidade de:
b) haver exatamente dois itens defeituosos;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que 5% dos itens de um fornecedor têm algum defeito. A gente tem um lote de 20 itens e precisa descobrir qual a chance de exatamente 2 deles serem defeituosos. Isso entra no conteúdo de Probabilidade, mais especificamente na Distribuição Binomial. Vamos usar essa ferramenta para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Distribuição Binomial. Ela serve para calcular a probabilidade de ocorrer exatamente k sucessos em n tentativas, quando cada tentativa tem uma probabilidade fixa de sucesso. No nosso caso, “sucesso” significa encontrar um item defeituoso.
A fórmula da Distribuição Binomial é:
P(k) = C(n, k) times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • $ P(k) $ é a probabilidade de exatamente k sucessos.
  • $ C(n, k) $ é a combinação de n elementos tomados k a k.
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma tentativa.
  • $ n $ é o número total de tentativas.
  • $ k $ é o número de sucessos desejados.

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • $ n = 20 $ (total de itens)
  • $ k = 2 $ (itens defeituosos que queremos)
  • $ p = 0.05 $ (5% de defeito)
Agora, vamos substituir esses valores na fórmula.

Passo 4

Primeiro, precisamos calcular $ C(20, 2) $, que é o número de maneiras de escolher 2 itens defeituosos dentre 20. A fórmula de combinação é:
C(20, 2)
Então,
C(n, k) = n!k!(n - k)!

Passo 5

Agora, vamos calcular cada parte da fórmula:
  • $ p^k = 0.05^2 = 0.0025 $
  • $ (1 - p)^{n - k} = 0.95^{18} \approx 0.407 $
Multiplicando tudo:
p^k = 0.05^2 = 0.0025

Resposta

A probabilidade de exatamente dois itens serem defeituosos é aproximadamente 19,4%.

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