Considere as seguintes retas:
c t:l 2 x-y+z=3 4 x+z=1 m:l x=1-t y=2+t z=3 , t in R n:l x-2=y+12 r: x+72=y2=z+2-1 s:l x+y=3 z=2 l 2 x+2 y-z=7
E os planos
alpha: 2 x-y+z=1 beta:-y+3 z=4 pi:l x=2 lambda-mu y=lambda+mu+1 ; lambda, mu in R z=1-lambda
Determine a posição relativa, o ângulo e a distância entre os seguintes pares de objetos:
t e pi
Caso as retas sejam reversas, determine os pontos nas retas que realizam a distância entre as retas.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas figuras geométricas:
  1. A reta $ t $, definida pelas equações:
    t
  2. O plano $ \pi $, definido parametricamente por:
    2x - y + z = 3 4x + z = 1
    Onde $ \lambda, \mu \in \mathbb{R} $.
O que o exercício quer é que a gente determine a posição relativa entre a reta $ t $ e o plano $ \pi $. Além disso, precisamos calcular o ângulo entre eles e a distância entre a reta e o plano. Caso a reta esteja fora do plano sem nunca cruzar (chamamos isso de retas reversas ou paralelas a planos), também precisamos encontrar os pontos que definem essa distância.
Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos sobre geometria analítica, especialmente sobre retas e planos no espaço tridimensional, como determinar se uma reta está contida, é paralela ou intersecta um plano, e como calcular ângulos e distâncias entre eles.

Passo 2

Vamos começar encontrando a equação vetorial da reta $ t $. As equações dadas são:
t
Queremos expressar $ x, y, z $ em termos de um parâmetro, digamos $ t $. Vamos resolver o sistema para achar uma representação paramétrica da reta.
Primeiro, da segunda equação: $ 4x + z = 1 $ podemos isolar $ z $:
2x - y + z = 3 4x + z = 1
Agora, substituímos $ z $ na primeira equação:
x, y, z
Agora, temos $ y $ e $ z $ em termos de $ x $. Vamos escolher $ x = t $ como parâmetro.
Então, a parametrização da reta $ t $ fica:
t
Então, a equação vetorial da reta $ t $ é:
4x + z = 1
Aqui, $ z $ é um ponto da reta e $ z = 1 - 4x $ é o vetor diretor da reta $ t $.

Passo 3

Agora, vamos analisar o plano $ \pi $, que está definido de forma paramétrica:
pi
Podemos reescrever isso como:
x = 2lambda - mu y = lambda + mu + 1 z = 1 - lambda
Aqui, $ r(lambda, mu) = 2lambda - mu lambda + mu + 1 1 - lambda = 0 1 1 + lambda 2 1 -1 + mu -1 1 0 $ é um ponto no plano $ \pi $, e $ 0 1 1 $ e $ pi $ são vetores diretores do plano.
Para determinar a posição relativa entre a reta $ t $ e o plano $ \pi $, precisamos ver se a reta está contida no plano, se é paralela ao plano ou se intersecta o plano em um único ponto.

Passo 4

Para verificar a posição relativa entre a reta $ t $ e o plano $ \pi $, vamos substituir as equações paramétricas da reta $ t $ na equação cartesiana do plano $ \pi $.
Primeiro, precisamos encontrar a equação cartesiana do plano $ \pi $. Sabemos que o plano é definido por dois vetores diretores $ \vec{u} = t $ e $ \vec{v} = pi $. O vetor normal $ \vec{n} $ ao plano é dado pelo produto vetorial de $ \vec{u} $ e $ \vec{v} $:
t
pi
Agora, a equação geral do plano $ \pi $ é:
pi
Então, a equação cartesiana do plano $ \pi $ é:
u = 2 1 -1
Agora, substituímos as coordenadas da reta $ t $ na equação do plano:
v = -1 1 0
Substituindo na equação do plano:
n
Encontramos um valor de $ t $, o que significa que a reta $ t $ intersecta o plano $ \pi $ em um único ponto.

Passo 5

Agora que sabemos que a reta $ t $ intersecta o plano $ \pi $, vamos encontrar as coordenadas desse ponto de interseção usando o valor de $ t = \frac{1}{9} $.
Substituindo $ t = \frac{1}{9} $ nas equações paramétricas da reta $ t $:
t
Portanto, o ponto de interseção $ P $ entre a reta $ t $ e o plano $ \pi $ é:
pi

Passo 6

Como a reta $ t $ intersecta o plano $ \pi $ em um único ponto, a posição relativa entre eles é de interseção. Agora, vamos calcular o ângulo entre a reta $ t $ e o plano $ \pi $.
Para encontrar o ângulo entre uma reta e um plano, usamos a seguinte relação:
t
Onde:
  • $ \vec{d} $ é o vetor diretor da reta.
  • $ \vec{n} $ é o vetor normal do plano.
  • $ \theta $ é o ângulo entre a reta e o plano.
Sabemos que:
pi
Calculando o produto escalar $ \vec{d} \cdot \vec{n} $:
t
Calculando as normas:
pi
Agora, substituindo na fórmula:
sin(theta) = |d cdot n||d| cdot |n|
Agora, calculamos $ \theta $:
d
Então, o ângulo entre a reta $ t $ e o plano $ \pi $ é aproximadamente $ 36.4^\circ $.

Passo 7

Por fim, como já determinamos que a reta $ t $ intersecta o plano $ \pi $, a distância entre eles é zero, já que eles se cruzam no ponto $ P \left(\frac{1}{9}, -\frac{20}{9}, \frac{5}{9}\right) $.

Resposta

A reta $ t $ intercepta o plano $ \pi $ no ponto $ \left(\frac{1}{9}, -\frac{20}{9}, \frac{5}{9}\right) $. O ângulo entre a reta $ t $ e o plano $ \pi $ é aproximadamente $ 36.4^\circ $, e a distância entre eles é zero, já que eles se cruzam.

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