Considere as seguintes retas:
c t:l 2 x-y+z=3 4 x+z=1 m:l x=1-t y=2+t z=3 , t in R n:l x-2=y+12 r: x+72=y2=z+2-1 s:l x+y=3 z=2 l 2 x+2 y-z=7
E os planos
alpha: 2 x-y+z=1 beta:-y+3 z=4 pi:l x=2 lambda-mu y=lambda+mu+1 ; lambda, mu in R z=1-lambda
Determine a posição relativa, o ângulo e a distância entre os seguintes pares de objetos:
n e r

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas retas, a n e a r, definidas pelas seguintes equações:
n: x - 2 = y + 12
r: x + 72 = y2 = z + 2-1
Precisamos determinar a posição relativa entre essas retas (ou seja, se elas são paralelas, se cruzam ou se são skew), o ângulo entre elas e a distância entre elas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como vetores diretores e fórmulas de ângulo e distância entre retas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar cada reta para facilitar os cálculos. Vamos começar com a reta n.
A equação da reta n é:
x - 2 = y + 12
Podemos escrever isso de forma paramétrica. Vamos chamar o parâmetro de t.
x = 2 + t y = -1 + 2t z = 0
Então, a parametrização da reta n é:
n: x = 2 + t y = -1 + 2t z = 0 , t in R

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a reta r. A equação dada é:
x + 72 = y2 = z + 2-1
Vamos chamar o parâmetro de s. Então,
x + 72 = s Rightarrow x = 2s - 7 y2 = s Rightarrow y = 2s z + 2-1 = s Rightarrow z = -s - 2
Portanto, a parametrização da reta r é:
r: x = 2s - 7 y = 2s z = -s - 2 , s in R

Passo 4

Agora que temos as parametrizações das retas n e r, podemos identificar os vetores diretores de cada uma.
Para a reta n:
dn = 1 2 0
Para a reta r:
dr = 2 2 -1

Passo 5

Vamos verificar se as retas são paralelas, se intersectam ou se são skew.
Duas retas são paralelas se seus vetores diretores são proporcionais. Vamos comparar dn e dr:
dn = 1 2 0 , dr = 2 2 -1
Claramente, não existe um escalar lambda tal que dn = lambda dr, então as retas não são paralelas.
Agora, vamos verificar se elas se intersectam. Para isso, precisamos encontrar valores de t e s que satisfaçam as equações paramétricas de ambas as retas simultaneamente:
2 + t = 2s - 7 -1 + 2t = 2s 0 = -s - 2
Da terceira equação, temos s = -2.
Substituindo s = -2 na primeira equação:
2 + t = 2(-2) - 7 2 + t = -11 t = -13
Agora, verificamos na segunda equação:
-1 + 2(-13) = 2(-2) -1 - 26 = -4 -27 ne -4
Como não há consistência nas equações, as retas não se intersectam. Portanto, elas são skew, ou seja, retas não paralelas e que não se intersectam.

Passo 6

Agora, vamos calcular o ângulo entre as retas n e r. O ângulo theta entre duas retas é dado pela fórmula:
cos theta = dn cdot dr|dn| |dr|
Primeiro, calculamos o produto escalar dn cdot dr:
dn cdot dr = (1)(2) + (2)(2) + (0)(-1) = 2 + 4 + 0 = 6
Agora, calculamos as normas dos vetores:
|dn| = raiz1^2 + 2^2 + 0^2 = raiz1 + 4 + 0 = raiz5
|dr| = raiz2^2 + 2^2 + (-1)^2 = raiz4 + 4 + 1 = raiz9 = 3
Substituindo na fórmula:
cos theta = 6raiz5 times 3 = 63raiz5 = 2raiz5
Portanto,
theta = arccos(2raiz5) approx 26,57^circ

Passo 7

Como as retas n e r são skew, ou seja, não se intersectam e não são paralelas, precisamos calcular a distância entre elas. A fórmula para a distância D entre duas retas skew é:
D = |dn cdot (Pr - Pn)||dn times dr|
Onde Pn e Pr são pontos quaisquer nas retas n e r, respectivamente.
Escolhemos pontos para facilitar:
Para a reta n, quando t=0:
Pn = 2 -1 0
Para a reta r, quando s=0:
Pr = -7 0 -2
Primeiro, calculamos Pr - Pn:
Pr - Pn = -7 - 2 0 - (-1) -2 - 0 = -9 1 -2
Agora, calculamos o produto vetorial dn times dr:
dn times dr = i & j & k 1 & 2 & 0 2 & 2 & -1 = i(2 times (-1) - 0 times 2) - j(1 times (-1) - 0 times 2) + k(1 times 2 - 2 times 2) = -2 1 -2
Calculamos a norma do produto vetorial:
|dn times dr| = raiz(-2)^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz4 + 1 + 4 = raiz9 = 3
Agora, calculamos o produto escalar dn cdot (Pr - Pn):
dn cdot (Pr - Pn) = (1)(-9) + (2)(1) + (0)(-2) = -9 + 2 + 0 = -7
Pegamos o valor absoluto:
|dn cdot (Pr - Pn)| = | -7 | = 7
Finalmente, calculamos a distância:
D = 73 approx 2,33 unidades

Resposta

As retas n e r são retas skew (não paralelas e não se intersectam) com um ângulo aproximado de 26,57^circ entre elas e uma distância de aproximadamente 2,33 unidades.

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