Calcule a distância do ponto
à reta que passa pelo ponto
e é paralela ao vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a distância do ponto $ P_{0} = (2, 5, -1) $ até uma reta que passa pelo ponto $ A = (1, -1, 2) $ e é paralela ao vetor $ \vec{v} = (1, 0, 1) $. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula para calcular a distância de um ponto a uma reta no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a reta é definida por um ponto $ A $ por onde ela passa e por um vetor diretor $ \vec{v} $ que indica sua direção. Queremos encontrar a distância do ponto $ P_{0} $ até essa reta.
Passo 3
Vamos começar determinando o vetor que liga o ponto $ A $ ao ponto $ P_{0} $. Esse vetor, que chamaremos de $ \vec{AP_{0}} $, é dado por:
Passo 4
A próxima etapa é calcular o produto vetorial entre $ \vec{AP_{0}} $ e o vetor diretor $ \vec{v} $. O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular aos dois vetores originais, e a magnitude desse vetor está relacionada à área do paralelogramo formado por $ \vec{AP_{0}} $ e $ \vec{v} $.
Calculando o determinante:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular a magnitude do vetor resultante do produto vetorial:
Passo 6
Em seguida, calculamos a magnitude do vetor diretor $ \vec{v} $:
Passo 7
Finalmente, usamos a fórmula da distância $ D $ do ponto à reta:
Resposta
A distância do ponto $ P_{0} $ à reta é $ 2\sqrt{11} $ unidades.