Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O enunciado nos dá um sistema com três equações e três incógnitas: , e . A matéria envolvida aqui é Sistemas Lineares, e para resolver isso, vamos precisar usar determinantes e entender quando um sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes do sistema. Essa matriz é formada pelos números que estão na frente das incógnitas nas equações:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante nos ajuda a saber se o sistema tem uma solução única ou infinitas soluções. Se o determinante for diferente de zero (), o sistema tem uma solução única. Se for igual a zero (), pode ter infinitas soluções ou nenhuma, mas como esse é um sistema homogêneo (igual a zero), ele sempre terá pelo menos a solução trivial (todas as variáveis iguais a zero).
Vamos calcular o determinante :
Simplificando:
Passo 4
Agora que temos , vamos analisar os casos:
Sistema não tem solução: Nos sistemas homogêneos, isso nunca acontece porque sempre existe a solução trivial .
Sistema tem solução única: Quando . Então, ou seja, .
Sistema tem infinitas soluções: Quando . Então, ou seja, .
Resposta
(a) O sistema sempre tem pelo menos a solução trivial, então não existe valor de para o qual o sistema não tenha solução.