Considere o sistema
c x+2 y+z=0 2 x+5 y+3 z=0 -x+y+a z=0
Para quais valores de a
(a) O sistema não tem solução
(b) O sistema tem solução única
© O sistema tem infinitas soluções

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O enunciado nos dá um sistema com três equações e três incógnitas: , e . A matéria envolvida aqui é Sistemas Lineares, e para resolver isso, vamos precisar usar determinantes e entender quando um sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes do sistema. Essa matriz é formada pelos números que estão na frente das incógnitas nas equações:
A = 1 & 2 & 1 2 & 5 & 3 -1 & 1 & a

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante nos ajuda a saber se o sistema tem uma solução única ou infinitas soluções. Se o determinante for diferente de zero ( det(A) = 1 cdot (5 cdot a - 3 cdot 1) - 2 cdot (2 cdot a - 3 cdot (-1)) + 1 cdot (2 cdot 1 - 5 cdot (-1)) ), o sistema tem uma solução única. Se for igual a zero ( det(A) = 1 cdot (5a - 3) - 2 cdot (2a + 3) + 1 cdot (2 + 5) ), pode ter infinitas soluções ou nenhuma, mas como esse é um sistema homogêneo (igual a zero), ele sempre terá pelo menos a solução trivial (todas as variáveis iguais a zero).
Vamos calcular o determinante det(A) = (5a - 3) - 2(2a + 3) + 7 :
det(A) = 5a - 3 - 4a - 6 + 7
Simplificando:
det(A) = (5a - 4a) + (-3 - 6 + 7)
det(A) = a - 2

Passo 4

Agora que temos , vamos analisar os casos:
  • Sistema não tem solução: Nos sistemas homogêneos, isso nunca acontece porque sempre existe a solução trivial .
  • Sistema tem solução única: Quando . Então, ou seja, .
  • Sistema tem infinitas soluções: Quando . Então, ou seja, .

Resposta

(a) O sistema sempre tem pelo menos a solução trivial, então não existe valor de para o qual o sistema não tenha solução.
(b) O sistema tem solução única para todo .
© O sistema tem infinitas soluções quando .

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