Considere o sistema
Para quais valores de
(a) O sistema não tem solução
(b) O sistema tem solução única
© O sistema tem infinitas soluções

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O enunciado nos dá um sistema com três equações e três incógnitas: , e . A matéria envolvida aqui é Sistemas Lineares, e para resolver isso, vamos precisar usar determinantes e entender quando um sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes do sistema. Essa matriz é formada pelos números que estão na frente das incógnitas nas equações:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante nos ajuda a saber se o sistema tem uma solução única ou infinitas soluções. Se o determinante for diferente de zero ( ), o sistema tem uma solução única. Se for igual a zero ( ), pode ter infinitas soluções ou nenhuma, mas como esse é um sistema homogêneo (igual a zero), ele sempre terá pelo menos a solução trivial (todas as variáveis iguais a zero).
Vamos calcular o determinante :
Simplificando:

Passo 4

Agora que temos , vamos analisar os casos:
  • Sistema não tem solução: Nos sistemas homogêneos, isso nunca acontece porque sempre existe a solução trivial .
  • Sistema tem solução única: Quando . Então, ou seja, .
  • Sistema tem infinitas soluções: Quando . Então, ou seja, .

Resposta

(a) O sistema sempre tem pelo menos a solução trivial, então não existe valor de para o qual o sistema não tenha solução.
(b) O sistema tem solução única para todo .
© O sistema tem infinitas soluções quando .

Exercícios relacionados

Determine o fator integrante e resolva:
Estude a posição relativa das retas i e s nos seguintes casos:
a)
r:

b) r:

c)

d)

e)

f)

g)

h) r:
Determine o fator integrante para a seguinte equação e resolva:
Determine o fator integrante e resolva: