Determine o fator integrante e resolva:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial:
O conteúdo que vamos usar envolve equações diferenciais exatas e fatores integrantes. Precisamos verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Depois, resolvemos a equação para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na equação:
Uma equação diferencial da forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a :
Vamos calcular essas derivadas.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata!

Passo 4

Como a equação é exata, sabemos que existe uma função tal que:
Vamos integrar em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função de que surge da constante de integração.

Passo 5

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que:
Integrando, encontramos , onde é uma constante.

Passo 6

Portanto, a função é:
Como , a solução geral da equação diferencial é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Estude a posição relativa das retas i e s nos seguintes casos:
a)
r:

b) r:

c)

d)

e)

f)

g)

h) r:
Resolva o sistema
Considere o sistema
Para quais valores de
(a) O sistema não tem solução
(b) O sistema tem solução única
© O sistema tem infinitas soluções
Determine o fator integrante para a seguinte equação e resolva: