Determine o fator integrante e resolva:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial:
O conteúdo que vamos usar envolve equações diferenciais exatas e fatores integrantes. Precisamos verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Depois, resolvemos a equação para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na equação:
Uma equação diferencial da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
:
Vamos calcular essas derivadas.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata!
Passo 4
Como a equação é exata, sabemos que existe uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função de
que surge da constante de integração.
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que:
Integrando, encontramos
, onde
é uma constante.
Passo 6
Portanto, a função
é:
Como
, a solução geral da equação diferencial é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.