Determine o fator integrante e resolva:
(y^2-x) d x+(2 x y) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial:
(y^2-x) dx + (2 x y) dy = 0
O conteúdo que vamos usar envolve equações diferenciais exatas e fatores integrantes. Precisamos verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Depois, resolvemos a equação para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções M(x, y) = y^2 - x N(x, y) = 2xy e partial Mpartial y = partial Npartial x na equação:
Uma equação diferencial da forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a :
Vamos calcular essas derivadas.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partialpartial y (y^2 - x) = 2y partial Npartial x = partialpartial x (2xy) = 2y
Como , a equação é exata!

Passo 4

Como a equação é exata, sabemos que existe uma função partial Psipartial x = M = y^2 - x partial Psipartial y = N = 2xy tal que:
Psi(x, y) = integral (y^2 - x) dx = y^2x - x^22 + h(y)
Vamos integrar em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função de que surge da constante de integração.

Passo 5

Agora, derivamos partial Psipartial y = 2yx + h'(y) = 2xy em relação a 2yx + h'(y) = 2xy h'(y) = 0 e igualamos a :
Isso implica que:
Integrando, encontramos , onde é uma constante.

Passo 6

Portanto, a função Psi(x, y) = y^2x - x^22 + C é:
y^2x - x^22 = C
Como , a solução geral da equação diferencial é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y^2x - x^22 = C
Onde é a constante de integração.

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