Estude a posição relativa das retas i e s nos seguintes casos:
a)
r: X=(1,-1,1)+lambda(-2,1,-1)
s:ly+z=3 x+y-z=6
b) r: lx-y-z=2 x+y-z=0
s:l2 x-3 y+z=5 x+y-2 z=0
c) r: x+12=y3=z+12
s: X=(0,0,0)+lambda(1,2,0)
d) r: x+32=y-14=z
s:l2 x-y+7=0 x+y-6 z+2=0
e) r: X=(8,1,9)+lambda(2,-1,3)
s: X=(3,-4,4)+lambda(1,-2,2)
f) r: x-13=y-53=z+25
s: x=-y=z-14
g) r: x+12=y=-z
s:lx+y-3 z=1 2 x-y-2 z=0
h) r: x+3=2 y-44=z-13
s: X=(0,2,2)+lambda(1,1,-1)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na parte a) do exercício. A gente precisa estudar a posição relativa das retas r e s. Isso envolve entender se as retas são paralelas, coincidentes ou se elas se cruzam em algum ponto no espaço 3D. Vamos precisar usar as equações paramétricas e sistemas de equações para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações das retas:
  • Reta r está na forma paramétrica:
    X = (1, -1, 1) + lambda (-2, 1, -1)
    Isso significa que qualquer ponto na reta r pode ser encontrado variando o parâmetro y + z = 3 x + y - z = 6 .
  • Reta s está definida por um sistema de equações:
    x + (3 - z) - z = 6 x + 3 - 2z = 6 x = 6 - 3 + 2z x = 3 + 2z
    Podemos resolver esse sistema para escrever a reta s também na forma paramétrica.
Primeiro, vamos resolver o sistema para a reta s:
Da primeira equação: z = mu y = 3 - mu x = 3 + 2mu X = (3, 3, 0) + mu (2, -1, 1)
Substituindo na segunda equação:
Agora, podemos expressar como parâmetro, digamos :
Então, a equação paramétrica da reta s é:
Agora temos as duas retas na forma paramétrica:
  • r:
  • s:

Passo 3

Para determinar a posição relativa das retas r e s, vamos verificar se elas são paralelas, coincidentes ou se se interceptam.
Primeiro, vamos comparar os vetores diretores das retas:
  • Vetor diretor de r: y + z = -1 + 1 = 0 neq 3 x + y - z = 1 + (-1) - 1 = -1 neq 6
  • Vetor diretor de s:
Observamos que , ou seja, os vetores diretores são proporcionais. Isso significa que as retas são paralelas.
Agora, para verificar se elas são coincidentes (ou seja, a mesma reta), precisamos ver se um ponto de uma reta está também na outra reta.
Vamos verificar se o ponto inicial da reta r, que é , satisfaz as equações da reta s.
Substituindo , , nas equações da reta s:
Como não satisfaz, as retas r e s são paralelas, mas não coincidentes.

Passo 4

Agora, vamos para a parte b) do exercício. Precisamos analisar a posição relativa das retas r e s dadas pelas seguintes equações:
  • Reta r:
    x - y - z = 2 x + y - z = 0
  • Reta s:
    2x - 3y + z = 5 x + y - 2z = 0
Vamos determinar se as retas são paralelas, coincidentes ou se se intersectam.

Passo 5

Primeiro, precisamos escrever as equações das retas r e s na forma paramétrica para facilitar a análise.
Para a reta r:
Temos o sistema:
x - y - z = 2 (1) x + y - z = 0 (2)
Subtraindo a equação (1) da equação (2):
(x + y - z) - (x - y - z) = 0 - 2 2y = -2 y = -1
Substituindo x + (-1) - z = 0 x - z = 1 x = z + 1 na equação (2):
x = lambda + 1 y = -1 z = lambda
Podemos deixar X = (1, -1, 0) + lambda (1, 0, 1) (parâmetro).
Então:
2x - 3y + z = 5 (3) x + y - 2z = 0 (4)
A equação paramétrica da reta r é:
x = -y + 2z
Para a reta s:
Temos o sistema:
2(-y + 2z) - 3y + z = 5 -2y + 4z - 3y + z = 5 -5y + 5z = 5 -5y = 5 - 5z y = z - 1
Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método de substituição.
Da equação (4):
x = mu + 1 y = mu - 1 z = mu
Substituindo X = (1, -1, 0) + mu (1, 1, 1) na equação (3):
Agora,
Podemos deixar .
Então:
A equação paramétrica da reta s é:

Passo 6

Agora, vamos comparar as duas retas:
  • r: dr = (1, 0, 1) ds = (1, 1, 1)
  • s:
Primeiro, observamos que ambas as retas passam pelo mesmo ponto inicial . Isso significa que as retas r e s se interceptam nesse ponto.
Além disso, os vetores diretores são diferentes:
Como os vetores diretores não são múltiplos um do outro, as retas não são paralelas.

Passo 7

Passando para a parte c) do exercício. Temos as retas:
  • Reta r:
    x + 12 = y3 = z + 12
  • Reta s:
    X = (0, 0, 0) + lambda (1, 2, 0)
Vamos analisar a posição relativa dessas retas no espaço.

Passo 8

Primeiro, vamos escrever a equação da reta r na forma paramétrica. A forma simétrica:
x + 12 = y3 = z + 12 = mu
Então, podemos expressar x = 2mu - 1 y = 3mu z = 2mu - 1 em termos de X = (-1, 0, -1) + mu (2, 3, 2) :
X = (0, 0, 0) + lambda (1, 2, 0)
Portanto, a equação paramétrica da reta r é:
A reta s já está na forma paramétrica:

Passo 9

Agora, vamos verificar se as retas são paralelas, coincidentes ou se se cruzam.
Primeiro, comparamos os vetores diretores:
  • Vetor diretor de r: (-1 + 2mu, 0 + 3mu, -1 + 2mu) = (0 + lambda, 0 + 2lambda, 0 + 0)
  • Vetor diretor de s: -1 + 2mu = lambda (1) 3mu = 2lambda (2) -1 + 2mu = 0 (3)
Eles não são múltiplos um do outro, então as retas r e s não são paralelas.
Agora, vamos verificar se há um ponto em comum. Vamos igualar as equações paramétricas:
-1 + 2mu = 0 2mu = 1 mu = 12
Isso resulta no sistema:
-1 + 2 times 12 = lambda -1 + 1 = lambda lambda = 0
Resolvendo a equação (3):
3 times 12 = 2 times 0 32 = 0 (Falso)
Substituindo na equação (1):
Agora, verificamos a equação (2):
Como não há consistência, as retas r e s não se interceptam.

Passo 10

Agora, vamos para a parte d) do exercício. Temos as retas:
  • Reta r:
    x + 32 = y - 14 = z
  • Reta s:
    2x - y + 7 = 0 x + y - 6z + 2 = 0
Vamos determinar a posição relativa dessas retas.

Passo 11

Primeiro, vamos escrever a equação da reta r na forma paramétrica. Denotando todos iguais a x + 32 = y - 14 = z = mu :
x = 2mu - 3 y = 4mu + 1 z = mu
Então:
X = (-3, 1, 0) + mu (2, 4, 1)
Portanto, a equação paramétrica da reta r é:
2x - y + 7 = 0 (1) x + y - 6z + 2 = 0 (2)
Para a reta s, vamos resolver o sistema de equações:
(2x - y +7) + (x + y -6z +2) = 0 + 0 3x -6z +9 = 0 3x -6z = -9 x - 2z = -3 x = 2z -3
Somando as duas equações:
2(2z -3) - y +7 = 0 4z -6 - y +7 = 0 4z +1 - y = 0 y = 4z +1
Substituindo x = 2lambda -3 y = 4lambda +1 z = lambda na equação (1):
X = (-3,1,0) + lambda (2,4,1)
Podemos deixar .
Então:
A equação paramétrica da reta s é:

Passo 12

Agora, temos as duas retas na forma paramétrica:
  • r:
  • s:
Observamos que ambas as retas têm o mesmo ponto inicial e o mesmo vetor diretor . Isso significa que elas são a mesma reta, ou seja, são coincidentes.

Passo 13

Continuando, vamos para a parte e) do exercício. Temos as retas:
  • Reta r:
    X = (8, 1, 9) + lambda (2, -1, 3)
  • Reta s:
    X = (3, -4, 4) + lambda (1, -2, 2)
Vamos analisar a posição relativa dessas retas.

Passo 14

Primeiro, observamos os vetores diretores das retas:
  • Vetor diretor de r: 21 = 2 -1-2 = 0,5 32 = 1,5
  • Vetor diretor de s: (8 + 2lambda, 1 - lambda, 9 + 3lambda) = (3 + mu, -4 - 2mu, 4 + 2mu)
Vamos verificar se os vetores diretores são proporcionais:
8 + 2lambda = 3 + mu (1) 1 - lambda = -4 - 2mu (2) 9 + 3lambda = 4 + 2mu (3)
Como as razões não são iguais, os vetores não são múltiplos um do outro. Portanto, as retas r e s não são paralelas.
Agora, vamos verificar se elas se interceptam. Para isso, igualamos as equações paramétricas:
8 + 2lambda = 3 + mu mu = 2lambda + 5 (4)
Isso leva ao sistema:
1 - lambda = -4 - 2(2lambda +5) 1 - lambda = -4 -4lambda -10 1 - lambda = -14 -4lambda 3lambda = -15 lambda = -5
Resolvendo a equação (1):
mu = 2(-5) +5 = -10 +5 = -5
Substituindo 9 + 3(-5) = 4 + 2(-5) 9 -15 = 4 -10 -6 = -6 (Verdadeiro) da equação (4) na equação (2):
X = (8,1,9) + (-5)(2,-1,3) = (8 -10, 1 +5, 9 -15) = (-2,6,-6)
Agora, substituindo na equação (4):
Verificamos na equação (3):
Portanto, há uma solução consistente.
Vamos encontrar o ponto de interseção substituindo na reta r:

Passo 15

Vamos para a parte f) do exercício. As retas são:
  • Reta r:
    x - 13 = y - 53 = z + 25
  • Reta s:
    x = -y = z - 14
Vamos determinar a posição relativa dessas retas.

Passo 16

Primeiro, vamos reescrever as equações das retas na forma paramétrica.
Para a reta r:
x - 13 = y - 53 = z + 25 = mu
Então:
x = 3mu +1 y = 3mu +5 z = 5mu -2
Portanto, a equação paramétrica da reta r é:
X = (1,5,-2) + mu (3,3,5)
Para a reta s:
As equações são:
x = -y (1) x = z -14 (2)
Vamos deixar x = lambda -14 .
Então, da equação (2):
y = -x = -lambda -14 = 1 - lambda4
E da equação (1):
X = ( -14, 14, 0 ) + lambda ( 14, -14, 1 )
Portanto, a equação paramétrica da reta s é:

Passo 17

Agora, vamos verificar se as retas são paralelas, coincidentes ou se se cruzam.
Primeiro, comparamos os vetores diretores:
  • Vetor diretor de r: 1/43 = 112 -1/43 = -112 15
  • Vetor diretor de s: (1 + 3mu, 5 + 3mu, -2 +5mu) = ( -1 + lambda4, 1 - lambda4, lambda )
Verificamos se 1 + 3mu = -1 + lambda4 (1) 5 + 3mu = 1 - lambda4 (2) -2 +5mu = lambda (3) é múltiplo de lambda = -2 +5mu (4) :
1 + 3mu = -1 + (-2 +5mu)4 1 + 3mu = -3 +5mu4 Mu
Como as razões não são iguais, os vetores não são proporcionais. As retas não são paralelas.
Para verificar a interseção, igualamos as equações paramétricas:
lambda = -2 +5(-1) = -2 -5 = -7
Isso resulta no sistema:
5 +3(-1) = 1 - (-7)4 5 -3 = 84 2 = 2 (Verdadeiro)
Resolvendo a equação (3):
X = (1 + 3(-1), 5 +3(-1), -2 +5(-1)) = (1-3,5-3,-2-5) = (-2,2,-7)
Substituindo da equação (4) na equação (1):
Substituindo na equação (4):
Verificamos na equação (2):
Portanto, há uma solução consistente.
Vamos encontrar o ponto de interseção substituindo na reta r:

Passo 18

Agora, vamos para a parte g) do exercício. As retas são:
  • Reta r:
    x + 12 = y = -z
  • Reta s:
    x + y - 3z = 1 2x - y - 2z = 0
Vamos determinar a posição relativa dessas retas.

Passo 19

Primeiro, vamos escrever as equações das retas na forma paramétrica.
Para a reta r:
x + 12 = y = -z = mu
Então:
x = 2mu -1 y = mu z = -mu
Portanto, a equação paramétrica da reta r é:
X = (-1,0,0) + mu (2,1,-1)
Para a reta s, vamos resolver o sistema de equações:
x + y - 3z = 1 (1) 2x - y - 2z = 0 (2)
Somando as equações (1) e (2):
(x + y -3z) + (2x - y -2z) = 1 +0 3x -5z =1 (3)
Podemos expressar 3x = 1 +5z x = 1 +5z3 em termos de 1 +5z3 + y -3z =1 Mu:
x = 1 +5lambda3 y = 2 +4lambda3 z = lambda
Substituindo X = ( 13, 23, 0 ) + lambda ( 53, 43,1 ) na equação (1):
Podemos deixar .
Então:
A equação paramétrica da reta s é:

Passo 20

Agora, vamos verificar se as retas são paralelas, coincidentes ou se se cruzam.
Primeiro, comparamos os vetores diretores:
  • Vetor diretor de r: 2k = 53 Rightarrow k = 56 1k = 43 Rightarrow k = 43 -1k = 1 Rightarrow k = -1
  • Vetor diretor de s: (-1 +2mu, 0 +mu, 0 -mu) = ( 1 +5lambda3, 2 +4lambda3, lambda )
Verificamos se existe um escalar -1 +2mu = 1 +5lambda3 (1) mu = 2 +4lambda3 (2) -mu = lambda (3) tal que mu = -lambda (4) :
-lambda = 2 +4lambda3 Mu
Como não existe um -1 +2 times 27 = 1 +5(-27)3 -1 + 47 = 1 - 1073 -77 + 47 = -373 -37 = -17 (Falso) consistente, os vetores não são proporcionais. Portanto, as retas não são paralelas.
Agora, vamos verificar se elas se interceptam. Igualamos as equações paramétricas:
Isso resulta no sistema:
Da equação (3):
Substituindo na equação (2):
Agora, substituindo e na equação (1):
Como não há consistência, as retas não se interceptam.

Passo 21

Finalmente, chegamos à parte h) do exercício. As retas são:
  • Reta r:
    x + 3 = 2y -44 = z -13
  • Reta s:
    X = (0, 2, 2) + lambda (1, 1, -1)
Vamos analisar a posição relativa dessas retas.

Passo 22

Primeiro, vamos escrever as equações das retas na forma paramétrica.
Para a reta r:
x +31 = 2y -44 = z -13 = mu
Então:
x +3 = mu Rightarrow x = mu -3 2y -4 =4mu Rightarrow 2y =4mu +4 Rightarrow y =2mu +2 z -1 =3mu Rightarrow z =3mu +1
Portanto, a equação paramétrica da reta r é:
X = (-3,2,1) + mu (1,2,3)
A reta s já está na forma paramétrica:
X = (0, 2, 2) + lambda (1,1,-1)

Passo 23

Agora, vamos verificar se as retas são paralelas, coincidentes ou se se cruzam.
Primeiro, comparamos os vetores diretores:
  • Vetor diretor de r: 1 = k times 1 Rightarrow k =1 1 = k times 2 Rightarrow k =0,5 -1 = k times3 Rightarrow k = -13
  • Vetor diretor de s: (-3 + mu, 2 +2mu,1 +3mu) = (0 + lambda, 2 +lambda, 2 -lambda)
Verificamos se existe um escalar -3 + mu = lambda (1) 2 +2mu = 2 +lambda (2) 1 +3mu = 2 -lambda (3) tal que lambda = mu -3 (4) :
2 +2mu = 2 + (mu -3) 2 +2mu =2 +mu -3 2mu -mu = -3 mu = -3
Como não existe um 1 +3(-3) =2 -(-6) 1 -9 =2 +6 -8 =8 (Falso) consistente, os vetores não são proporcionais. As retas não são paralelas.
Para verificar a interseção, igualamos as equações paramétricas:
Isso leva ao sistema:
Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Então,
Verificando na equação (3):
Como não há consistência, as retas não se interceptam.

Resposta

As retas r e s são skew lines (retas cruzeiras) no espaço, ou seja, não são paralelas nem se interceptam.

Conclusão

Analisando todas as partes do exercício de a) a h), observamos diferentes posições relativas entre as retas, como paralelismo, coincidência e interseção. É fundamental transformar as equações das retas em formas paramétricas para facilitar a comparação dos vetores diretores e verificar possíveis pontos de interseção.

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