Estude a posição relativa das retas i e s nos seguintes casos:
a)
r:
b) r:
c)
d)
e)
f)
g)
h) r:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na parte a) do exercício. A gente precisa estudar a posição relativa das retas r e s. Isso envolve entender se as retas são paralelas, coincidentes ou se elas se cruzam em algum ponto no espaço 3D. Vamos precisar usar as equações paramétricas e sistemas de equações para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações das retas:
Reta r está na forma paramétrica:
Isso significa que qualquer ponto na reta r pode ser encontrado variando o parâmetro .
Reta s está definida por um sistema de equações:
Podemos resolver esse sistema para escrever a reta s também na forma paramétrica.
Primeiro, vamos resolver o sistema para a reta s:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora, podemos expressar como parâmetro, digamos :
Então, a equação paramétrica da reta s é:
Agora temos as duas retas na forma paramétrica:
r:
s:
Passo 3
Para determinar a posição relativa das retas r e s, vamos verificar se elas são paralelas, coincidentes ou se se interceptam.
Primeiro, vamos comparar os vetores diretores das retas:
Vetor diretor de r:
Vetor diretor de s:
Observamos que , ou seja, os vetores diretores são proporcionais. Isso significa que as retas são paralelas.
Agora, para verificar se elas são coincidentes (ou seja, a mesma reta), precisamos ver se um ponto de uma reta está também na outra reta.
Vamos verificar se o ponto inicial da reta r, que é , satisfaz as equações da reta s.
Substituindo , , nas equações da reta s:
Como não satisfaz, as retas r e s são paralelas, mas não coincidentes.
Passo 4
Agora, vamos para a parte b) do exercício. Precisamos analisar a posição relativa das retas r e s dadas pelas seguintes equações:
Reta r:
Reta s:
Vamos determinar se as retas são paralelas, coincidentes ou se se intersectam.
Passo 5
Primeiro, precisamos escrever as equações das retas r e s na forma paramétrica para facilitar a análise.
Para a reta r:
Temos o sistema:
Subtraindo a equação (1) da equação (2):
Substituindo na equação (2):
Podemos deixar (parâmetro).
Então:
A equação paramétrica da reta r é:
Para a reta s:
Temos o sistema:
Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método de substituição.
Da equação (4):
Substituindo na equação (3):
Agora,
Podemos deixar .
Então:
A equação paramétrica da reta s é:
Passo 6
Agora, vamos comparar as duas retas:
r:
s:
Primeiro, observamos que ambas as retas passam pelo mesmo ponto inicial . Isso significa que as retas r e s se interceptam nesse ponto.
Além disso, os vetores diretores são diferentes:
Como os vetores diretores não são múltiplos um do outro, as retas não são paralelas.
Passo 7
Passando para a parte c) do exercício. Temos as retas:
Reta r:
Reta s:
Vamos analisar a posição relativa dessas retas no espaço.
Passo 8
Primeiro, vamos escrever a equação da reta r na forma paramétrica. A forma simétrica:
Então, podemos expressar em termos de :
Portanto, a equação paramétrica da reta r é:
A reta s já está na forma paramétrica:
Passo 9
Agora, vamos verificar se as retas são paralelas, coincidentes ou se se cruzam.
Primeiro, comparamos os vetores diretores:
Vetor diretor de r:
Vetor diretor de s:
Eles não são múltiplos um do outro, então as retas r e s não são paralelas.
Agora, vamos verificar se há um ponto em comum. Vamos igualar as equações paramétricas:
Isso resulta no sistema:
Resolvendo a equação (3):
3 times 12 = 2 times 0 32 = 0 (Falso)
Substituindo na equação (1):
Agora, verificamos a equação (2):
Como não há consistência, as retas r e s não se interceptam.
Passo 10
Agora, vamos para a parte d) do exercício. Temos as retas:
Reta r:
x + 32 = y - 14 = z
Reta s:
2x - y + 7 = 0 x + y - 6z + 2 = 0
Vamos determinar a posição relativa dessas retas.
Passo 11
Primeiro, vamos escrever a equação da reta r na forma paramétrica. Denotando todos iguais a x + 32 = y - 14 = z = mu :
x = 2mu - 3 y = 4mu + 1 z = mu
Então:
X = (-3, 1, 0) + mu (2, 4, 1)
Portanto, a equação paramétrica da reta r é:
2x - y + 7 = 0 (1) x + y - 6z + 2 = 0 (2)
Para a reta s, vamos resolver o sistema de equações:
(2x - y +7) + (x + y -6z +2) = 0 + 0 3x -6z +9 = 0 3x -6z = -9 x - 2z = -3 x = 2z -3
Somando as duas equações:
2(2z -3) - y +7 = 0 4z -6 - y +7 = 0 4z +1 - y = 0 y = 4z +1
Substituindo x = 2lambda -3 y = 4lambda +1 z = lambda na equação (1):
X = (-3,1,0) + lambda (2,4,1)
Podemos deixar .
Então:
A equação paramétrica da reta s é:
Passo 12
Agora, temos as duas retas na forma paramétrica:
r:
s:
Observamos que ambas as retas têm o mesmo ponto inicial e o mesmo vetor diretor . Isso significa que elas são a mesma reta, ou seja, são coincidentes.
Passo 13
Continuando, vamos para a parte e) do exercício. Temos as retas:
Reta r:
X = (8, 1, 9) + lambda (2, -1, 3)
Reta s:
X = (3, -4, 4) + lambda (1, -2, 2)
Vamos analisar a posição relativa dessas retas.
Passo 14
Primeiro, observamos os vetores diretores das retas:
Verificamos se existe um escalar -1 +2mu = 1 +5lambda3 (1) mu = 2 +4lambda3 (2) -mu = lambda (3) tal que mu = -lambda (4) :
-lambda = 2 +4lambda3 Mu
Como não existe um -1 +2 times 27 = 1 +5(-27)3 -1 + 47 = 1 - 1073 -77 + 47 = -373 -37 = -17 (Falso) consistente, os vetores não são proporcionais. Portanto, as retas não são paralelas.
Agora, vamos verificar se elas se interceptam. Igualamos as equações paramétricas:
Isso resulta no sistema:
Da equação (3):
Substituindo na equação (2):
Agora, substituindo e na equação (1):
Como não há consistência, as retas não se interceptam.
Passo 21
Finalmente, chegamos à parte h) do exercício. As retas são:
Reta r:
x + 3 = 2y -44 = z -13
Reta s:
X = (0, 2, 2) + lambda (1, 1, -1)
Vamos analisar a posição relativa dessas retas.
Passo 22
Primeiro, vamos escrever as equações das retas na forma paramétrica.
Para a reta r:
x +31 = 2y -44 = z -13 = mu
Então:
x +3 = mu Rightarrow x = mu -3 2y -4 =4mu Rightarrow 2y =4mu +4 Rightarrow y =2mu +2 z -1 =3mu Rightarrow z =3mu +1
Portanto, a equação paramétrica da reta r é:
X = (-3,2,1) + mu (1,2,3)
A reta s já está na forma paramétrica:
X = (0, 2, 2) + lambda (1,1,-1)
Passo 23
Agora, vamos verificar se as retas são paralelas, coincidentes ou se se cruzam.
Primeiro, comparamos os vetores diretores:
Vetor diretor de r: 1 = k times 1 Rightarrow k =1 1 = k times 2 Rightarrow k =0,5 -1 = k times3 Rightarrow k = -13
Como não existe um 1 +3(-3) =2 -(-6) 1 -9 =2 +6 -8 =8 (Falso) consistente, os vetores não são proporcionais. As retas não são paralelas.
Para verificar a interseção, igualamos as equações paramétricas:
Isso leva ao sistema:
Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Então,
Verificando na equação (3):
Como não há consistência, as retas não se interceptam.
Resposta
As retas r e s são skew lines (retas cruzeiras) no espaço, ou seja, não são paralelas nem se interceptam.
Conclusão
Analisando todas as partes do exercício de a) a h), observamos diferentes posições relativas entre as retas, como paralelismo, coincidência e interseção. É fundamental transformar as equações das retas em formas paramétricas para facilitar a comparação dos vetores diretores e verificar possíveis pontos de interseção.