Estude a posição relativa das retas i e s nos seguintes casos:
a)
r:

b) r:

c)

d)

e)

f)

g)

h) r:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na parte a) do exercício. A gente precisa estudar a posição relativa das retas r e s. Isso envolve entender se as retas são paralelas, coincidentes ou se elas se cruzam em algum ponto no espaço 3D. Vamos precisar usar as equações paramétricas e sistemas de equações para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações das retas:
  • Reta r está na forma paramétrica:
    Isso significa que qualquer ponto na reta r pode ser encontrado variando o parâmetro .
  • Reta s está definida por um sistema de equações:
    Podemos resolver esse sistema para escrever a reta s também na forma paramétrica.
Primeiro, vamos resolver o sistema para a reta s:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora, podemos expressar como parâmetro, digamos :
Então, a equação paramétrica da reta s é:
Agora temos as duas retas na forma paramétrica:
  • r:
  • s:

Passo 3

Para determinar a posição relativa das retas r e s, vamos verificar se elas são paralelas, coincidentes ou se se interceptam.
Primeiro, vamos comparar os vetores diretores das retas:
  • Vetor diretor de r:
  • Vetor diretor de s:
Observamos que , ou seja, os vetores diretores são proporcionais. Isso significa que as retas são paralelas.
Agora, para verificar se elas são coincidentes (ou seja, a mesma reta), precisamos ver se um ponto de uma reta está também na outra reta.
Vamos verificar se o ponto inicial da reta r, que é , satisfaz as equações da reta s.
Substituindo , , nas equações da reta s:
Como não satisfaz, as retas r e s são paralelas, mas não coincidentes.

Passo 4

Agora, vamos para a parte b) do exercício. Precisamos analisar a posição relativa das retas r e s dadas pelas seguintes equações:
  • Reta r:
  • Reta s:
Vamos determinar se as retas são paralelas, coincidentes ou se se intersectam.

Passo 5

Primeiro, precisamos escrever as equações das retas r e s na forma paramétrica para facilitar a análise.
Para a reta r:
Temos o sistema:
Subtraindo a equação (1) da equação (2):
Substituindo na equação (2):
Podemos deixar (parâmetro).
Então:
A equação paramétrica da reta r é:
Para a reta s:
Temos o sistema:
Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método de substituição.
Da equação (4):
Substituindo na equação (3):
Agora,
Podemos deixar .
Então:
A equação paramétrica da reta s é:

Passo 6

Agora, vamos comparar as duas retas:
  • r:
  • s:
Primeiro, observamos que ambas as retas passam pelo mesmo ponto inicial . Isso significa que as retas r e s se interceptam nesse ponto.
Além disso, os vetores diretores são diferentes:
Como os vetores diretores não são múltiplos um do outro, as retas não são paralelas.

Passo 7

Passando para a parte c) do exercício. Temos as retas:
  • Reta r:
  • Reta s:
Vamos analisar a posição relativa dessas retas no espaço.

Passo 8

Primeiro, vamos escrever a equação da reta r na forma paramétrica. A forma simétrica:
Então, podemos expressar em termos de :
Portanto, a equação paramétrica da reta r é:
A reta s já está na forma paramétrica:

Passo 9

Agora, vamos verificar se as retas são paralelas, coincidentes ou se se cruzam.
Primeiro, comparamos os vetores diretores:
  • Vetor diretor de r:
  • Vetor diretor de s:
Eles não são múltiplos um do outro, então as retas r e s não são paralelas.
Agora, vamos verificar se há um ponto em comum. Vamos igualar as equações paramétricas:
Isso resulta no sistema:
Resolvendo a equação (3):
Substituindo na equação (1):
Agora, verificamos a equação (2):
Como não há consistência, as retas r e s não se interceptam.

Passo 10

Agora, vamos para a parte d) do exercício. Temos as retas:
  • Reta r:
  • Reta s:
Vamos determinar a posição relativa dessas retas.

Passo 11

Primeiro, vamos escrever a equação da reta r na forma paramétrica. Denotando todos iguais a :
Então:
Portanto, a equação paramétrica da reta r é:
Para a reta s, vamos resolver o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo na equação (1):
Podemos deixar .
Então:
A equação paramétrica da reta s é:

Passo 12

Agora, temos as duas retas na forma paramétrica:
  • r:
  • s:
Observamos que ambas as retas têm o mesmo ponto inicial e o mesmo vetor diretor . Isso significa que elas são a mesma reta, ou seja, são coincidentes.

Passo 13

Continuando, vamos para a parte e) do exercício. Temos as retas:
  • Reta r:
  • Reta s:
Vamos analisar a posição relativa dessas retas.

Passo 14

Primeiro, observamos os vetores diretores das retas:
  • Vetor diretor de r:
  • Vetor diretor de s:
Vamos verificar se os vetores diretores são proporcionais:
Como as razões não são iguais, os vetores não são múltiplos um do outro. Portanto, as retas r e s não são paralelas.
Agora, vamos verificar se elas se interceptam. Para isso, igualamos as equações paramétricas:
Isso leva ao sistema:
Resolvendo a equação (1):
Substituindo da equação (4) na equação (2):
Agora, substituindo na equação (4):
Verificamos na equação (3):
Portanto, há uma solução consistente.
Vamos encontrar o ponto de interseção substituindo na reta r:

Passo 15

Vamos para a parte f) do exercício. As retas são:
  • Reta r:
  • Reta s:
Vamos determinar a posição relativa dessas retas.

Passo 16

Primeiro, vamos reescrever as equações das retas na forma paramétrica.
Para a reta r:
Então:
Portanto, a equação paramétrica da reta r é:
Para a reta s:
As equações são:
Vamos deixar .
Então, da equação (2):
E da equação (1):
Portanto, a equação paramétrica da reta s é:

Passo 17

Agora, vamos verificar se as retas são paralelas, coincidentes ou se se cruzam.
Primeiro, comparamos os vetores diretores:
  • Vetor diretor de r:
  • Vetor diretor de s:
Verificamos se é múltiplo de :
Como as razões não são iguais, os vetores não são proporcionais. As retas não são paralelas.
Para verificar a interseção, igualamos as equações paramétricas:
Isso resulta no sistema:
Resolvendo a equação (3):
Substituindo da equação (4) na equação (1):
Substituindo na equação (4):
Verificamos na equação (2):
Portanto, há uma solução consistente.
Vamos encontrar o ponto de interseção substituindo na reta r:

Passo 18

Agora, vamos para a parte g) do exercício. As retas são:
  • Reta r:
  • Reta s:
Vamos determinar a posição relativa dessas retas.

Passo 19

Primeiro, vamos escrever as equações das retas na forma paramétrica.
Para a reta r:
Então:
Portanto, a equação paramétrica da reta r é:
Para a reta s, vamos resolver o sistema de equações:
Somando as equações (1) e (2):
Podemos expressar em termos de :
Substituindo na equação (1):
Podemos deixar .
Então:
A equação paramétrica da reta s é:

Passo 20

Agora, vamos verificar se as retas são paralelas, coincidentes ou se se cruzam.
Primeiro, comparamos os vetores diretores:
  • Vetor diretor de r:
  • Vetor diretor de s:
Verificamos se existe um escalar tal que :
Como não existe um consistente, os vetores não são proporcionais. Portanto, as retas não são paralelas.
Agora, vamos verificar se elas se interceptam. Igualamos as equações paramétricas:
Isso resulta no sistema:
Da equação (3):
Substituindo na equação (2):
Agora, substituindo e na equação (1):
Como não há consistência, as retas não se interceptam.

Passo 21

Finalmente, chegamos à parte h) do exercício. As retas são:
  • Reta r:
  • Reta s:
Vamos analisar a posição relativa dessas retas.

Passo 22

Primeiro, vamos escrever as equações das retas na forma paramétrica.
Para a reta r:
Então:
Portanto, a equação paramétrica da reta r é:
A reta s já está na forma paramétrica:

Passo 23

Agora, vamos verificar se as retas são paralelas, coincidentes ou se se cruzam.
Primeiro, comparamos os vetores diretores:
  • Vetor diretor de r:
  • Vetor diretor de s:
Verificamos se existe um escalar tal que :
Como não existe um consistente, os vetores não são proporcionais. As retas não são paralelas.
Para verificar a interseção, igualamos as equações paramétricas:
Isso leva ao sistema:
Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Então,
Verificando na equação (3):
Como não há consistência, as retas não se interceptam.

Resposta

As retas r e s são skew lines (retas cruzeiras) no espaço, ou seja, não são paralelas nem se interceptam.

Conclusão

Analisando todas as partes do exercício de a) a h), observamos diferentes posições relativas entre as retas, como paralelismo, coincidência e interseção. É fundamental transformar as equações das retas em formas paramétricas para facilitar a comparação dos vetores diretores e verificar possíveis pontos de interseção.

Exercícios relacionados

Resolva o sistema
Encontre a solução da seguinte equação de Riccati: .
Determine o fator integrante e resolva:
Considere o sistema
Para quais valores de
(a) O sistema não tem solução
(b) O sistema tem solução única
© O sistema tem infinitas soluções