Considere um sistema descrito pela equação diferencial,
ddoty(t)+2 doty(t)+2 y(t)=2 dotx(t)+x(t)
(b) Determine a resposta completa deste sistema considerando a entrada anterior e y(0)=-1 e doty(0)=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial que descreve um sistema:
ddoty(t) + 2 doty(t) + 2 y(t) = 2 dotx(t) + x(t)
Estamos pedindo para encontrar a resposta completa desse sistema, considerando as condições iniciais $ y(0) = -1 $ e $ \dot{y}(0) = 1 $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e métodos para encontrar soluções gerais, que incluem a solução da equação homogênea e uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é aquela sem o termo do lado direito:
ddoty(t) + 2 doty(t) + 2 y(t) = 0
Para resolver essa equação, assumimos uma solução da forma $ y_h(t) = e^{rt} $. Substituindo na equação, temos:
yh(t) = e^rt
Dividindo por $ e^{rt} $ (que nunca é zero), ficamos com a equação característica:
r^2 e^rt + 2 r e^rt + 2 e^rt = 0

Passo 3

Vamos resolver a equação característica $ r^2 + 2r + 2 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
r^2 + 2r + 2 = 0
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 2 $, e $ c = 2 $. Calculando o discriminante:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Como o discriminante é negativo, as raízes serão complexas:
a = 1

Passo 4

Com as raízes $ r = -1 \pm i $, a solução geral da equação homogênea é:
r = -1 pm i
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ y_p(t) $ para a equação completa:
yp(t)
Para isso, precisamos saber a forma de $ x(t) $. Como o enunciado não especifica $ x(t) $, vamos assumir que $ x(t) $ é uma função forçada externa. Porém, sem essa informação, não podemos determinar $ y_p(t) $. Vamos considerar que a entrada $ x(t) $ foi previamente definida em outra parte do exercício. Se não for o caso, precisaríamos dessa informação para prosseguir.

Passo 6

Assumindo que o sistema é forçado por $ x(t) $, e para simplificar, vamos considerar uma entrada $ x(t) = e^{st} $, onde $ s $ é uma constante. Então, a entrada e suas derivadas seriam:
x(t)
x(t) = e^st
A solução particular seria da forma $ y_p(t) = K e^{st} $, onde $ K $ é uma constante a ser determinada.
Substituindo $ y_p(t) $ na equação diferencial:
s
Dividindo por $ e^{st} $:
dotx(t) = s e^st
Então:
2 dotx(t) + x(t) = 2s e^st + e^st = (2s + 1) e^st

Passo 7

A solução completa $ y(t) $ é a soma da solução homogênea $ y_h(t) $ e da solução particular $ y_p(t) $:
y(t)

Passo 8

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $. Sabemos que:
C1
C2
Vamos calcular $ y(0) $:
y(0) = -1
E a derivada $ \dot{y}(t) $:
doty(0) = 1
Calculando $ \dot{y}(0) $:
y(0)
Agora, temos um sistema de equações para $ C_1 $ e $ C_2 $:
  1. $ C_1 + \frac{2s + 1}{s^2 + 2s + 2} = -1 $
  2. $ -C_1 + C_2 + s \frac{2s + 1}{s^2 + 2s + 2} = 1 $
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
y(0) = e^0 ( C1 cos(0) + C2 sin(0) ) + 2s + 1s^2 + 2s + 2 e^0 = C1 + 2s + 1s^2 + 2s + 2 = -1
Substituindo na segunda equação:
doty(t)
Simplificando:
doty(t) = -e^-t ( C1 cos(t) + C2 sin(t) ) + e^-t ( -C1 sin(t) + C2 cos(t) ) + s 2s + 1s^2 + 2s + 2 e^st
Cancelando o 1 dos dois lados:
doty(0)
Fatorando $ \frac{2s + 1}{s^2 + 2s + 2} $:
doty(0) = - (C1) + C2 + s 2s + 1s^2 + 2s + 2 = 1
Então:
C1

Passo 9

Finalmente, substituímos $ C_1 $ e $ C_2 $ na solução completa:
C1

Resposta

A resposta completa do sistema é:
y(t) = e^-t ( [ -1 - 2s + 1s^2 + 2s + 2 ] cos(t) + [ - (1 + s) 2s + 1s^2 + 2s + 2 ] sin(t) ) + 2s + 1s^2 + 2s + 2 e^st

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