Considere um sistema descrito pela equação diferencial,
(b) Determine a resposta completa deste sistema considerando a entrada anterior e
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial que descreve um sistema:
Estamos pedindo para encontrar a resposta completa desse sistema, considerando as condições iniciais $ y(0) = -1 $ e $ \dot{y}(0) = 1 $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e métodos para encontrar soluções gerais, que incluem a solução da equação homogênea e uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é aquela sem o termo do lado direito:
Para resolver essa equação, assumimos uma solução da forma $ y_h(t) = e^{rt} $. Substituindo na equação, temos:
Dividindo por $ e^{rt} $ (que nunca é zero), ficamos com a equação característica:
Passo 3
Vamos resolver a equação característica $ r^2 + 2r + 2 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 2 $, e $ c = 2 $. Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, as raízes serão complexas:
Passo 4
Com as raízes $ r = -1 \pm i $, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ y_p(t) $ para a equação completa:
Para isso, precisamos saber a forma de $ x(t) $. Como o enunciado não especifica $ x(t) $, vamos assumir que $ x(t) $ é uma função forçada externa. Porém, sem essa informação, não podemos determinar $ y_p(t) $. Vamos considerar que a entrada $ x(t) $ foi previamente definida em outra parte do exercício. Se não for o caso, precisaríamos dessa informação para prosseguir.
Passo 6
Assumindo que o sistema é forçado por $ x(t) $, e para simplificar, vamos considerar uma entrada $ x(t) = e^{st} $, onde $ s $ é uma constante. Então, a entrada e suas derivadas seriam:
A solução particular seria da forma $ y_p(t) = K e^{st} $, onde $ K $ é uma constante a ser determinada.
Substituindo $ y_p(t) $ na equação diferencial:
Dividindo por $ e^{st} $:
Então:
Passo 7
A solução completa $ y(t) $ é a soma da solução homogênea $ y_h(t) $ e da solução particular $ y_p(t) $:
Passo 8
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $. Sabemos que:
Vamos calcular $ y(0) $:
E a derivada $ \dot{y}(t) $:
Calculando $ \dot{y}(0) $:
Agora, temos um sistema de equações para $ C_1 $ e $ C_2 $:
- $ C_1 + \frac{2s + 1}{s^2 + 2s + 2} = -1 $
- $ -C_1 + C_2 + s \frac{2s + 1}{s^2 + 2s + 2} = 1 $
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Simplificando:
Cancelando o 1 dos dois lados:
Fatorando $ \frac{2s + 1}{s^2 + 2s + 2} $:
Então:
Passo 9
Finalmente, substituímos $ C_1 $ e $ C_2 $ na solução completa:
Resposta
A resposta completa do sistema é: