Considere um sistema descrito pela equação diferencial,
(a) Determine a resposta forçada deste sistema considerando
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que descreve um sistema:
E a gente precisa achar a resposta forçada desse sistema quando a entrada é
. Isso envolve entender como o sistema responde a uma entrada específica usando conceitos de equações diferenciais e métodos para encontrar soluções particulares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa resposta forçada. Em sistemas lineares, a solução geral da equação diferencial é composta pela solução homogênea (resposta natural do sistema) e pela solução particular (resposta forçada). Aqui, a gente quer apenas a parte da solução que vem da entrada externa
.
Passo 3
Como a entrada
é uma função seno,
, vamos supor que a solução particular
também será uma combinação de seno e cosseno com a mesma frequência. Ou seja, vamos assumir:
Onde
e
são coeficientes que a gente precisa determinar.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de
necessárias para substituir na equação diferencial:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 5
Substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Sabendo que
, então:
Passo 6
Simplificando o lado esquerdo da equação:
Agrupando termos semelhantes:
Para
:
Para
:
Então, a equação fica:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para
:
Para
:
Passo 8
Resolvemos esse sistema de equações para encontrar
e
.
Multiplicando a equação (1) por 1.75:
Subtraindo a equação (2) da equação (1a):
Dividindo por 2.0625:
Substituindo
da equação (2):
Substituindo na equação (3):
Agora, substituindo
na equação (2):
Resposta
A resposta forçada do sistema é aproximadamente: