Considere um sistema descrito pela equação diferencial,
ddoty(t)+2 doty(t)+2 y(t)=2 dotx(t)+x(t)
(a) Determine a resposta forçada deste sistema considerando x(t)=sin (0.5 t) u(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que descreve um sistema:
ddoty(t)+2 doty(t)+2 y(t)=2 dotx(t)+x(t)
E a gente precisa achar a resposta forçada desse sistema quando a entrada é x(t) = sin(0.5t)u(t). Isso envolve entender como o sistema responde a uma entrada específica usando conceitos de equações diferenciais e métodos para encontrar soluções particulares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa resposta forçada. Em sistemas lineares, a solução geral da equação diferencial é composta pela solução homogênea (resposta natural do sistema) e pela solução particular (resposta forçada). Aqui, a gente quer apenas a parte da solução que vem da entrada externa x(t).

Passo 3

Como a entrada x(t) é uma função seno, sin(0.5t), vamos supor que a solução particular yp(t) também será uma combinação de seno e cosseno com a mesma frequência. Ou seja, vamos assumir:
yp(t) = A sin(0.5t) + B cos(0.5t)
Onde A e B são coeficientes que a gente precisa determinar.

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de yp(t) necessárias para substituir na equação diferencial:
Primeira derivada:
dotyp(t) = 0.5A cos(0.5t) - 0.5B sin(0.5t)
Segunda derivada:
ddotyp(t) = -0.25A sin(0.5t) - 0.25B cos(0.5t)

Passo 5

Substituímos yp(t), dotyp(t) e ddotyp(t) na equação diferencial original:
(-0.25A sin(0.5t) - 0.25B cos(0.5t)) + 2(0.5A cos(0.5t) - 0.5B sin(0.5t)) + 2(A sin(0.5t) + B cos(0.5t)) = 2 dotx(t) + x(t)
Sabendo que dotx(t) = 0.5 cos(0.5t), então:
2 dotx(t) + x(t) = 2(0.5 cos(0.5t)) + sin(0.5t) = cos(0.5t) + sin(0.5t)

Passo 6

Simplificando o lado esquerdo da equação:
-0.25A sin(0.5t) - 0.25B cos(0.5t) + A cos(0.5t) - B sin(0.5t) + 2A sin(0.5t) + 2B cos(0.5t) = sin(0.5t) + cos(0.5t)
Agrupando termos semelhantes:
Para sin(0.5t):
(-0.25A - B + 2A) sin(0.5t) = (1.75A - B) sin(0.5t)
Para cos(0.5t):
(-0.25B + A + 2B) cos(0.5t) = (A + 1.75B) cos(0.5t)
Então, a equação fica:
(1.75A - B) sin(0.5t) + (A + 1.75B) cos(0.5t) = sin(0.5t) + cos(0.5t)

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para sin(0.5t):
1.75A - B = 1 (1)
Para cos(0.5t):
A + 1.75B = 1 (2)

Passo 8

Resolvemos esse sistema de equações para encontrar A e B.
Multiplicando a equação (1) por 1.75:
(1.75)(1.75A - B) = 1.75 Rightarrow 3.0625A - 1.75B = 1.75 (1a)
Subtraindo a equação (2) da equação (1a):
3.0625A - 1.75B - (A + 1.75B) = 1.75 - 1 2.0625A - 3.5B = 0.75
Dividindo por 2.0625:
A - 3.52.0625B = 0.752.0625 A - 1.7B approx 0.3636 (3)
Substituindo A da equação (2):
A = 1 - 1.75B
Substituindo na equação (3):
1 - 1.75B - 1.7B = 0.3636 1 - 3.45B = 0.3636 -3.45B = -0.6364 B approx 0.1846
Agora, substituindo B na equação (2):
A + 1.75(0.1846) = 1 A + 0.323 = 1 A approx 0.677

Resposta

A resposta forçada do sistema é aproximadamente:
yp(t) = 0.677 sin(0.5t) + 0.185 cos(0.5t)

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