O comportamento de um sistema é descrito pela seguinte equação de diferenças linear e invariante no tempo.
y[n]-1.5 y[n-1]+0.5 y[n-2]=x[n]-0.5 x[n-1]
(b) Este sistema é causal, tem memória, é BIBO-estável ? Justifique suas respostas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de diferenças que descreve o comportamento de um sistema:
y[n]-1.5 y[n-1]+0.5 y[n-2]=x[n]-0.5 x[n-1]
A questão pede para a gente descobrir se esse sistema é causal, tem memória e se é BIBO-estável. Para isso, vamos precisar entender o que cada um desses termos significa na teoria de sistemas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre causalidade. Um sistema é causal se a saída em qualquer instante depende apenas dos valores atuais e passados da entrada, ou seja, ele não depende de futuros valores da entrada.
Vamos analisar a equação:
y[n]-1.5 y[n-1]+0.5 y[n-2]=x[n]-0.5 x[n-1]
Observe que $ y[n] $ depende de $ y[n-1] $ e $ y[n-2] $, que são valores passados, e $ x[n] $ e $ x[n-1] $, também valores atuais e passados. Não há dependência de futuros valores de $ x $ ou $ y $.

Passo 3

Agora, sobre memória. Um sistema tem memória se a saída depende de valores passados ou futuros da entrada ou da saída. Se a saída depender apenas do valor presente da entrada, o sistema é sem memória.
Na nossa equação, $ y[n] $ depende de $ y[n-1] $ e $ y[n-2] $, além de $ x[n] $ e $ x[n-1] $. Isso significa que a saída atual depende de valores passados da entrada e também de saídas passadas. Portanto, o sistema tem memória.

Passo 4

Por último, vamos verificar se o sistema é BIBO-estável (Bounded Input, Bounded Output). Um sistema é BIBO-estável se toda entrada limitada gera uma saída limitada. Para verificar isso, precisamos olhar para a função de transferência do sistema e analisar os pólos.
Primeiro, vamos encontrar a função de transferência. Tomando a transformada Z da equação:
Y(z) - 1.5 Y(z) z^-1 + 0.5 Y(z) z^-2 = X(z) - 0.5 X(z) z^-1
Fatorando:
Y(z) [1 - 1.5 z^-1 + 0.5 z^-2] = X(z) [1 - 0.5 z^-1]
Então:
H(z) = Y(z)X(z) = 1 - 0.5 z^-11 - 1.5 z^-1 + 0.5 z^-2
Agora, analisamos os pólos da função de transferência, que são as raízes do denominador:
1 - 1.5 z^-1 + 0.5 z^-2 = 0 implies z^2 - 1.5 z + 0.5 = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
z = 1.5 pm raiz(1.5)^2 - 4 cdot 1 cdot 0.52 = 1.5 pm raiz2.25 - 22 = 1.5 pm raiz0.252
Então, os pólos são:
z = 1.5 + 0.52 = 1 e z = 1.5 - 0.52 = 0.5
Para que o sistema seja BIBO-estável, todos os pólos devem estar dentro do círculo unitário no plano z, ou seja, com módulo menor que 1. Aqui, os pólos são $ z = 1 $ e $ z = 0.5 $. O pólo em $ z = 1 $ está na fronteira do círculo unitário, o que geralmente implica que o sistema não é estritamente BIBO-estável.

Resposta

O sistema é causal porque a saída $ y[n] $ depende apenas dos valores presentes e passados da entrada $ x[n] $ e das saídas passadas. Ele tem memória já que a saída atual depende de valores passados de entradas e saídas. Quanto à BIBO-estabilidade, o sistema não é BIBO-estável porque possui um pólo no limite do círculo unitário ($ z = 1 $), indicando que entradas limitadas podem levar a saídas não limitadas.

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