Considere um sistema fechado constituído por uma massa m de gás ideal cuja relação de calores específicos k é constante (k=Cp / Cv). Desprezando as variações de energia cinética e de energia potencial gravitacional mostre: Que em qualquer processo adiabático o trabalho é dado pela seguinte expressão:
1 W2=m R(T2-T1)1-k

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido. Temos um sistema fechado com uma massa W1 to 2 = m R (T2 - T1)1 - k de gás ideal, onde a relação dos calores específicos é constante . Queremos demonstrar que, em qualquer processo adiabático, o trabalho realizado é dado por:
Para resolver isso, vamos precisar usar a primeira lei da termodinâmica, que relaciona a variação da energia interna, o calor trocado e o trabalho realizado, além das propriedades dos processos adiabáticos e das relações entre os calores específicos para gases ideais.

Passo 2

Em um processo adiabático, não há troca de calor com o ambiente, ou seja, De. A primeira lei da termodinâmica é dada por:
De
Como , a equação simplifica para:
Isso significa que a variação da energia interna do sistema é igual ao trabalho realizado pelo sistema.

Passo 3

Para um gás ideal, a variação da energia interna ( De) está relacionada à massa do gás, ao calor específico a volume constante ( m Cv (T2 - T1) = -W ) e à variação de temperatura:
Substituindo na equação anterior:

Passo 4

Isolando o trabalho W = -m Cv (T2 - T1) :
O sinal negativo indica que o trabalho é realizado pelo sistema.

Passo 5

Sabemos que a relação dos calores específicos é Cp - Cv = R . Além disso, para gases ideais, a diferença entre o calor específico a pressão constante ( Cv = Rk - 1 ) e o calor específico a volume constante ( ) é igual à constante dos gases ideais ( ):
A partir disso, podemos expressar em termos de e :

Passo 6

Substituindo W = -m ( Rk - 1 ) (T2 - T1) na expressão do trabalho:
W = m R (T1 - T2)k - 1
Simplificando:

Passo 7

Para ajustar o sinal e deixar a expressão de acordo com o solicitado, multiplicamos numerador e denominador por W = m R (T2 - T1)1 - k :

Resposta

W1 to 2 = m R (T2 - T1)1 - k

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