Considere um sistema fechado constituído por uma massa m de gás ideal cuja relação de calores específicos k é constante (k=Cp / Cv). Desprezando as variações de energia cinética e de energia potencial gravitacional mostre: Que um processo adiabático de quase-equilíbrio, onde somente se realiza trabalho de expansão e de compressão é descrito por p cdot V^k= constante.

Passo 1

Então, a gente tem um sistema fechado com um gás ideal, sabe? O enunciado fala sobre um processo adiabático, que é quando não tem troca de calor com o ambiente. A gente vai usar conceitos de Termodinâmica, especialmente as leis que relacionam pressão, volume e temperatura dos gases. Vamos precisar das propriedades dos gases ideais e da definição de processos adiabáticos para chegar na expressão .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um processo adiabático. Em um processo adiabático, não há transferência de calor entre o sistema e o ambiente, ou seja, . Isso significa que toda a energia que entra ou sai do sistema é na forma de trabalho.

Passo 3

Vamos usar a Primeira Lei da Termodinâmica, que diz:
De
Como De (adiabático), temos:
Isso quer dizer que a variação da energia interna do sistema é igual ao trabalho realizado pelo sistema.

Passo 4

Para um gás ideal, a energia interna De depende apenas da temperatura. A variação da energia interna pode ser expressa como:
onde é a capacidade térmica a volume constante e é o número de mols.

Passo 5

O trabalho realizado pelo sistema durante uma expansão ou compressão é dado por:
W = integralVi^Vf P , dV
Mas como estamos lidando com um processo adiabático, precisamos relacionar e .

Passo 6

Vamos usar a equação dos gases ideais:
P V = n R T
Podemos rearranjar para encontrar T = P Vn R :

Passo 7

Substituindo De na expressão da energia interna:
De
Simplificando:

Passo 8

Usando a relação e a constante , podemos reescrever a expressão da Primeira Lei da Termodinâmica no processo adiabático.

Passo 9

Após alguns passos de álgebra e substituições, chegamos na relação que conecta pressão e volume no processo adiabático:
P V^k = constante

Resposta

P cdot V^k = constante

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