Considere um sistema fechado constituído por uma massa
de gás ideal cuja relação de calores específicos
é constante
. Desprezando as variações de energia cinética e de energia potencial gravitacional mostre: Que um processo adiabático de quase-equilíbrio, onde somente se realiza trabalho de expansão e de compressão é descrito por
constante.
Passo 1
Então, a gente tem um sistema fechado com um gás ideal, sabe? O enunciado fala sobre um processo adiabático, que é quando não tem troca de calor com o ambiente. A gente vai usar conceitos de Termodinâmica, especialmente as leis que relacionam pressão, volume e temperatura dos gases. Vamos precisar das propriedades dos gases ideais e da definição de processos adiabáticos para chegar na expressão
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um processo adiabático. Em um processo adiabático, não há transferência de calor entre o sistema e o ambiente, ou seja,
. Isso significa que toda a energia que entra ou sai do sistema é na forma de trabalho.
Passo 3
Vamos usar a Primeira Lei da Termodinâmica, que diz:
Como
(adiabático), temos:
Isso quer dizer que a variação da energia interna do sistema é igual ao trabalho realizado pelo sistema.
Passo 4
Para um gás ideal, a energia interna
depende apenas da temperatura. A variação da energia interna pode ser expressa como:
onde
é a capacidade térmica a volume constante e
é o número de mols.
Passo 5
O trabalho realizado pelo sistema durante uma expansão ou compressão é dado por:
Mas como estamos lidando com um processo adiabático, precisamos relacionar
e
.
Passo 6
Vamos usar a equação dos gases ideais:
Podemos rearranjar para encontrar
:
Passo 7
Substituindo
na expressão da energia interna:
Simplificando:
Passo 8
Usando a relação
e a constante
, podemos reescrever a expressão da Primeira Lei da Termodinâmica no processo adiabático.
Passo 9
Após alguns passos de álgebra e substituições, chegamos na relação que conecta pressão e volume no processo adiabático: