Um tanque de paredes rígidas contém inicialmente 3 kg de ar a 500 kPa e 290 K . O tanque está conectado, através de uma válvula, a um dispositivo pistão-cilindro orientado verticalmente. O dispositivo pistão-cilindro contém, inicialmente, 0,05 m^3 de ar a 200 kPa e 290 K . Embora a válvula esteja fechada, um pequeno vazamento permite que o ar passe do tanque ao cilindro provocando a queda de pressão no tanque até 200 kPa . O peso do pistão e a pressão atmosférica mantém constante a pressão no cilindro ( 200 kPa ). Além disso, devido à transferência de calor, a temperatura no cilindro e no tanque também permecem constantes (290 K). Definindo o ar como sistema, determine a transferência de calor, em kJ. Considere o ar um gás ideal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um tanque rígido com ar e um dispositivo pistão-cilindro conectado a ele. Inicialmente, o tanque tem 3 kg de ar a 500 kPa e 290 K, e o pistão-cilindro tem 0,05 m³ de ar a 200 kPa e 290 K. Um vazamento faz a pressão no tanque cair para 200 kPa, mantendo a pressão no cilindro constante e a temperatura igual em ambos os lugares. Queremos descobrir quanto de calor foi transferido nesse processo. Para resolver isso, vamos usar a Lei dos Gases Ideais e a Primeira Lei da Termodinâmica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece com as massas de ar. Como a pressão final no tanque e no cilindro é a mesma (200 kPa) e a temperatura também permanece constante (290 K), podemos usar a Lei dos Gases Ideais para calcular as quantidades de ar em cada local após a transferência.
A Lei dos Gases Ideais é dada por:
PV = mRT
onde:
  • é a pressão,
  • é o volume,
  • é a massa,
  • é a constante específica do ar ( ),
  • é a temperatura.

Passo 3

Vamos calcular a massa de ar no cilindro após a transferência. Sabemos que a pressão e a temperatura permanecem constantes, então:
m2 = P VR T
Substituindo os valores:
m2 = 200 times 0,050,287 times 290
m2 approx 1083,23
m2 approx 0,120 , kg
Então, após a transferência, o cilindro tem aproximadamente 0,120 kg de ar.

Passo 4

Agora, vamos ver quanto ar ficou no tanque após a transferência. Inicialmente, o tanque tinha 3 kg e uma parte saiu para o cilindro. Então:
mfinal, tanque = minicial, tanque - m2
mfinal, tanque = 3 - 0,120
mfinal, tanque = 2,880 , kg

Passo 5

Com as massas finais conhecidas, podemos calcular a energia interna dos sistemas antes e depois da transferência. A energia interna ( U = m cdot cv cdot T ) para um gás ideal depende apenas da temperatura e da massa:
Uinicial, tanque = 3 times 0,717 times 290
Onde Uinicial, tanque approx 3 times 207,93 é a capacidade calorífica a volume constante para o ar ( Uinicial, tanque approx 623,79 , kJ ).
Calculando a energia interna inicial e final.
Energia interna inicial:
  • Tanque:
    Uinicial, cilindro = 0,05 times 0,717 times 290
    Uinicial, cilindro approx 0,05 times 207,93
    Uinicial, cilindro approx 10,40 , kJ
  • Cilindro:
    Ufinal, tanque = 2,880 times 0,717 times 290
    Ufinal, tanque approx 2,880 times 207,93
    Ufinal, tanque approx 598,77 , kJ
Energia interna final:
  • Tanque:
    Ufinal, cilindro = 0,120 times 0,717 times 290
    Ufinal, cilindro approx 0,120 times 207,93
    Ufinal, cilindro approx 24,95 , kJ
  • Cilindro:

Passo 6

Agora, vamos calcular a variação total da energia interna do sistema:
De
Substituindo os valores:
De
De
De
A variação de energia interna é negativa, indicando que o sistema perdeu energia interna.

Passo 7

Aplicando a Primeira Lei da Termodinâmica, que diz:
De
Onde:
  • W = P De é a variação da energia interna,
  • De é o calor transferido para o sistema,
  • Vfinal = Vinicial + De é o trabalho realizado pelo sistema.
Como o sistema é definido como o ar no tanque e no cilindro, e o volume do tanque é rígido, o único trabalho realizado é o trabalho de expansão no cilindro. Mas como a pressão no cilindro é constante e o volume mudou, o trabalho Vtransferido = m2 RTP pode ser calculado por:
Vtransferido = 0,120 times 0,287 times 290200
Vamos calcular o trabalho realizado pelo cilindro.
A variação de volume do cilindro:
Vtransferido approx 9,936200
Como o cilindro recebeu mais ar, seu volume aumentou:
Vtransferido approx 0,0497 , m^3
Sabemos que a massa adicional no cilindro foi 0,120 kg, então usamos a Lei dos Gases Ideais para achar a variação de volume:
De
W = 200 times 0,0497
W approx 9,94 , kJ
Então,
Calculando o trabalho:

Passo 8

Agora, voltamos à Primeira Lei:
De
Queremos encontrar Q = De:
Q = -10,47 + 9,94
Substituindo os valores:
Q = -0,53 , kJ

Resposta

A transferência de calor é de aproximadamente -0,53 kJ.

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