Um tanque de paredes rígidas contém inicialmente 3 kg de ar a 500 kPa e 290 K . O tanque está conectado, através de uma válvula, a um dispositivo pistão-cilindro orientado verticalmente. O dispositivo pistão-cilindro contém, inicialmente,
de ar a 200 kPa e 290 K . Embora a válvula esteja fechada, um pequeno vazamento permite que o ar passe do tanque ao cilindro provocando a queda de pressão no tanque até 200 kPa . O peso do pistão e a pressão atmosférica mantém constante a pressão no cilindro ( 200 kPa ). Além disso, devido à transferência de calor, a temperatura no cilindro e no tanque também permecem constantes (290 K). Definindo o ar como sistema, determine a transferência de calor, em kJ. Considere o ar um gás ideal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um tanque rígido com ar e um dispositivo pistão-cilindro conectado a ele. Inicialmente, o tanque tem 3 kg de ar a 500 kPa e 290 K, e o pistão-cilindro tem 0,05 m³ de ar a 200 kPa e 290 K. Um vazamento faz a pressão no tanque cair para 200 kPa, mantendo a pressão no cilindro constante e a temperatura igual em ambos os lugares. Queremos descobrir quanto de calor foi transferido nesse processo. Para resolver isso, vamos usar a Lei dos Gases Ideais e a Primeira Lei da Termodinâmica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece com as massas de ar. Como a pressão final no tanque e no cilindro é a mesma (200 kPa) e a temperatura também permanece constante (290 K), podemos usar a Lei dos Gases Ideais para calcular as quantidades de ar em cada local após a transferência.
A Lei dos Gases Ideais é dada por:
onde:
-
é a pressão, -
é o volume, -
é a massa, -
é a constante específica do ar ( ), -
é a temperatura.
Passo 3
Vamos calcular a massa de ar no cilindro após a transferência. Sabemos que a pressão e a temperatura permanecem constantes, então:
Substituindo os valores:
Então, após a transferência, o cilindro tem aproximadamente 0,120 kg de ar.
Passo 4
Agora, vamos ver quanto ar ficou no tanque após a transferência. Inicialmente, o tanque tinha 3 kg e uma parte saiu para o cilindro. Então:
Passo 5
Com as massas finais conhecidas, podemos calcular a energia interna dos sistemas antes e depois da transferência. A energia interna (
) para um gás ideal depende apenas da temperatura e da massa:
Onde
é a capacidade calorífica a volume constante para o ar (
).
Calculando a energia interna inicial e final.
Energia interna inicial:
-
Tanque:
-
Cilindro:
Energia interna final:
-
Tanque:
-
Cilindro:
Passo 6
Agora, vamos calcular a variação total da energia interna do sistema:
Substituindo os valores:
A variação de energia interna é negativa, indicando que o sistema perdeu energia interna.
Passo 7
Aplicando a Primeira Lei da Termodinâmica, que diz:
Onde:
-
é a variação da energia interna, -
é o calor transferido para o sistema, -
é o trabalho realizado pelo sistema.
Como o sistema é definido como o ar no tanque e no cilindro, e o volume do tanque é rígido, o único trabalho realizado é o trabalho de expansão no cilindro. Mas como a pressão no cilindro é constante e o volume mudou, o trabalho
pode ser calculado por:
Vamos calcular o trabalho realizado pelo cilindro.
A variação de volume do cilindro:
Como o cilindro recebeu mais ar, seu volume aumentou:
Sabemos que a massa adicional no cilindro foi 0,120 kg, então usamos a Lei dos Gases Ideais para achar a variação de volume:
Então,
Calculando o trabalho:
Passo 8
Agora, voltamos à Primeira Lei:
Queremos encontrar
:
Substituindo os valores:
Resposta
A transferência de calor é de aproximadamente -0,53 kJ.