Considere um sistema de partículas, as quais podem ter três valores de energia, -E, 0, E. Imagine que você tenha N partículas idênticas sem restrição quanto ao número delas que possam ter um valor particular de energia. Encontre a entropia definida como S(E, 3)=kB ln (Omega(E, 3)) em ambos os casos. Para qual definição de Omega a temperatura termodinâmica pode ser negativa?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício que envolve sistemas de partículas com três níveis de energia: -E, 0 e E. A gente tem N partículas idênticas e sem restrição de quantas podem ocupar cada nível de energia. A tarefa é encontrar a entropia, que é definida por S(E, 3) = kB ln (Omega(E, 3)), em dois casos diferentes. Além disso, precisamos descobrir em qual definição de Omega a temperatura termodinâmica pode ser negativa. Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de estatística e termodinâmica, como contagem de microestados e a relação entre entropia e temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é Omega(E, 3). Essa função representa o número de maneiras diferentes que as partículas podem distribuir suas energias nos três níveis disponíveis ( -E, 0, E). Como as partículas são idênticas e não há restrição no número de partículas por nível de energia, estamos lidando com um problema de “partição de partículas em estados de energia”.
Existem duas maneiras comuns de contar esses microestados:
  1. Partição com repetição permitida: Aqui, as partículas podem se distribuir livremente nos níveis de energia, sem restrições.
  2. Partição sem repetição: Embora no nosso caso as partículas possam ocupar qualquer nível sem restrição, é interessante comparar com esse método para entender as diferenças.
Vamos focar nas duas formas principais de contar Omega para o nosso problema.

Passo 3

Primeira definição de Omega: Distribuição sem restrição (Partição com repetição permitida)
Neste caso, queremos distribuir N partículas em 3 níveis de energia, onde cada nível pode ter de 0 a N partículas. A fórmula para contar o número de microestados é dada por:
Omega1 = binomN + 3 - 13 - 1 = binomN + 22 = (N + 2)(N + 1)2
Explicação da fórmula: Estamos usando a combinação com repetição, onde binomN + k - 1k - 1 conta o número de maneiras de distribuir N itens em k caixas.
Segunda definição de Omega: Considerando as energias negativas e positivas
Aqui, a contagem leva em conta que as partículas podem ocupar níveis com energias negativas e positivas, afetando a distribuição. Para simplificar, consideramos que cada partição diferente leva a um estado energético distinto.
A fórmula para Omega permanece a mesma neste caso específico, pois a energia não restringe a distribuição das partículas:
Omega2 = Omega1 = (N + 2)(N + 1)2
No entanto, a diferença chega quando analisamos a energia total do sistema e como ela se relaciona com a distribuição das partículas.

Passo 4

Agora, vamos calcular a entropia para cada definição de Omega usando a fórmula dada:
S(E, 3) = kB ln (Omega(E, 3))
Para Omega1:
S1 = kB ln ( (N + 2)(N + 1)2 )
Para Omega2:
S2 = kB ln ( (N + 2)(N + 1)2 )
Observamos que, neste caso específico, as duas definições de Omega resultam na mesma expressão para a entropia. Isso ocorre porque as energias negativas e positivas não impõem restrições adicionais na distribuição das partículas.

Passo 5

Agora, vamos falar sobre a temperatura termodinâmica e como ela pode ser negativa. A temperatura em sistemas estatísticos é definida pela relação:
1T = ( partial Spartial E )V
Temperaturas negativas podem ocorrer em sistemas onde, ao adicionar energia, a entropia diminui. Isso geralmente acontece em sistemas com um número finito de estados de energia superiores, onde há um ponto máximo de entropia.
No nosso caso, a definição de Omega que permite temperaturas negativas é aquela onde a entropia pode diminuir com o aumento da energia. Isso está relacionado à segunda definição de Omega, onde consideramos os efeitos das energias negativas e positivas na distribuição das partículas. Se a distribuição das partículas for tal que adicionar energia a certas partículas reduz a multiplicidade Omega, então a derivada partial S / partial E pode se tornar negativa, resultando em uma temperatura negativa.

Resposta

A entropia para ambos os casos é dada por S(E, 3) = kB ln ( (N + 2)(N + 1)2 ). A definição de Omega que leva à possibilidade de temperatura termodinâmica negativa é aquela que considera a distribuição das partículas levando em conta as energias negativas e positivas, permitindo que ao adicionar energia a certas partículas a entropia diminua.

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