Um oscilador livre tem período T e amplitude A. Determine o tempo mínimo para a partícula se deslocar do ponto x=A para o ponto x=-A/2.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado fala sobre um oscilador livre que tem um período e uma amplitude . Precisamos descobrir quanto tempo a partícula leva para ir do ponto até o ponto . Para isso, vamos usar os conceitos de movimento harmônico simples (MHS), que descreve bem o comportamento de osciladores como molas e pêndulos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no movimento harmônico simples, a posição da partícula em função do tempo é dada pela fórmula:
x(t) = A cos(omega t)
onde:
  • é a posição no tempo ,
  • é a amplitude,
  • é a frequência angular, que está relacionada ao período pela .

Passo 3

Sabemos que no instante inicial, a partícula está em x(0) = A cos(0) = A times 1 = A . Isso acontece quando :
Então, nosso ponto de partida está correto.

Passo 4

Queremos encontrar o tempo -A2 = A cos(omega t) quando a posição . Vamos igualar a expressão da posição a esse valor:

Passo 5

Agora, vamos resolver para -12 = cos(omega t) . Primeiro, dividimos os dois lados por cos(2pi3) = -12 :
omega t = 2pi3
Para encontrar , precisamos saber para qual ângulo o cosseno é igual a . Sabemos que:
Portanto:

Passo 6

Vamos isolar t = 2pi3omega :
t = 2pi3 times 2piT = 2pi3 times T2pi = T3
Lembrando que , substituímos na equação:

Resposta

O tempo mínimo para a partícula se deslocar de para é .

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