Considere o sistema e os vetores coluna
© Ache a matriz fundamental
que satisfaz
, para o sistema acima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá um sistema linear de equações diferenciais e duas soluções particulares. Nosso objetivo aqui é encontrar a matriz fundamental
que satisfaz
, onde
é a matriz identidade. Para isso, vamos precisar entender conceitos de sistemas lineares, soluções de equações diferenciais e como montar essa matriz fundamental a partir das soluções fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz fundamental. Em sistemas de equações diferenciais lineares da forma
, onde
é uma matriz quadrada, uma matriz fundamental
é uma matriz cujas colunas são soluções fundamentais do sistema. Isso significa que cada coluna de
é uma solução independente linearmente, e
deve satisfazer
.
Passo 3
No nosso caso, temos duas soluções particulares:
Essas soluções correspondem a valores próprios diferentes do sistema, o que indica que elas são linearmente independentes e podem ser usadas para formar a matriz fundamental.
Passo 4
Agora, vamos montar a matriz fundamental
usando essas soluções como colunas:
Passo 5
Mas precisamos garantir que
. Vamos verificar:
Vemos que
não é a matriz identidade, então precisamos ajustar as soluções para que, em
, a matriz fundamental seja
.
Passo 6
Para isso, podemos fatorar
como
, onde
é a matriz formada pelas soluções em
, e
é uma matriz diagonal com os expoentes das soluções. Primeiro, identificamos
:
E
:
Então, a matriz fundamental pode ser escrita como:
Passo 7
Para que
, precisamos que
seja a matriz identidade. Para isso, podemos ajustar as soluções originais dividindo cada coluna de
por
, ou seja, encontrar uma matriz
que faça isso. Calculando
:
Agora, multiplicamos
pela matriz
para obter a matriz fundamental que satisfaz
:
Passo 8
Finalmente, calculando o produto das matrizes:
Resposta
A matriz fundamental que satisfaz
para o sistema dado é:
Exercícios relacionados
- Dada a função
b) Determine as assíntotas verticais, se existirem.
(b) Forme uma matriz fundamental
e calcule
.
Calcule o valor de cada limite a seguir, se existir:
c)
c)
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.