2,5 Considere o sistema e os vetores coluna
X' = (4 1; 6 5) X ; X1 = (1; -2) e^(2t), X2 = (1; 3) e^(7t)
© Ache a matriz fundamental Psi(t) que satisfaz Psi(0) = I, para o sistema acima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá um sistema linear de equações diferenciais e duas soluções particulares. Nosso objetivo aqui é encontrar a matriz fundamental Psi(t) que satisfaz , onde I é a matriz identidade. Para isso, vamos precisar entender conceitos de sistemas lineares, soluções de equações diferenciais e como montar essa matriz fundamental a partir das soluções fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz fundamental. Em sistemas de equações diferenciais lineares da forma , onde A é uma matriz quadrada, uma matriz fundamental Psi(t) é uma matriz cujas colunas são soluções fundamentais do sistema. Isso significa que cada coluna de Psi(t) é uma solução independente linearmente, e Psi(t) deve satisfazer .

Passo 3

No nosso caso, temos duas soluções particulares:
Essas soluções correspondem a valores próprios diferentes do sistema, o que indica que elas são linearmente independentes e podem ser usadas para formar a matriz fundamental.

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz fundamental Psi(t) usando essas soluções como colunas:

Passo 5

Mas precisamos garantir que . Vamos verificar:
Vemos que não é a matriz identidade, então precisamos ajustar as soluções para que, em t = 0, a matriz fundamental seja I.

Passo 6

Para isso, podemos fatorar Psi(t) como , onde P é a matriz formada pelas soluções em t = 0, e D é uma matriz diagonal com os expoentes das soluções. Primeiro, identificamos P:
E D:
Então, a matriz fundamental pode ser escrita como:

Passo 7

Para que , precisamos que P seja a matriz identidade. Para isso, podemos ajustar as soluções originais dividindo cada coluna de Psi(t) por P, ou seja, encontrar uma matriz que faça isso. Calculando :
Agora, multiplicamos pela matriz Psi(t) para obter a matriz fundamental que satisfaz :

Passo 8

Finalmente, calculando o produto das matrizes:

Resposta

A matriz fundamental que satisfaz para o sistema dado é:

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    b) Determine as assíntotas verticais, se existirem.
2,5 Considere o sistema e os vetores coluna
X' = (4 1; 6 5) X ; X1 = (1; -2) e^(2t), X2 = (1; 3) e^(7t)
(b) Forme uma matriz fundamental Phi(t) e calcule Phi^(-1)(t).
Calcule o valor de cada limite a seguir, se existir:
c) lim x 0 1-cos 2 xx
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
sumn=1^infty ln ^2(n)n^3