Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
sumn=1^infty ln ^2(n)n^3

Passo 1

Beleza, vamos analisar esse exercício juntos! A questão nos pede para determinar se a série sumn=1^infty ln ^2(n)n^3 é convergente ou divergente. Se a série convergir, também precisamos calcular o valor da soma. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre séries infinitas, especialmente os testes de convergência, como o Teste da Comparação e o Teste da Integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o comportamento geral dos termos da série. Temos ln^2(n)n^3. À medida que cresce, cresce muito mais rápido que , o que sugere que os termos da série estão diminuindo.

Passo 3

Para verificar a convergência, vamos usar o Teste da Comparação. Esse teste nos permite comparar a série dada com outra série conhecida que é mais fácil de analisar.

Passo 4

Escolhemos comparar com a série sumn=1^infty 1n^p, onde sumn=1^infty 1n^3. Sabemos que essa série, chamada série p, converge se . Como , a série converge.

Passo 5

Agora, comparamos os termos das duas séries:
ln^2(n)n^3 <= Cn^3
Para algum constante e para suficientemente grande. Como cresce mais lentamente que qualquer potência de , podemos afirmar que existe um tal que a desigualdade acima é válida.

Passo 6

Segundo o Teste da Comparação, se uma série é menor ou igual a uma série convergente , então também converge. Aqui, e .

Passo 7

Portanto, pela comparação, a série original sumn=1^infty ln ^2(n)n^3 também converge.

Passo 8

Agora, para calcular a soma da série, notamos que ela não possui uma forma fechada simples. Geralmente, séries que envolvem logaritmos elevados a potências não têm somas que podem ser expressas de forma elementar. Portanto, concluímos que embora a série seja convergente, não é viável calcular seu valor exato com as ferramentas básicas de cálculo.

Resposta

A série sumn=1^infty ln ^2(n)n^3 é convergente, mas não é possível calcular o valor exato da soma com métodos elementares.

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