Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Passo 1
Beleza, vamos analisar esse exercício juntos! A questão nos pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Se a série convergir, também precisamos calcular o valor da soma. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre séries infinitas, especialmente os testes de convergência, como o Teste da Comparação e o Teste da Integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o comportamento geral dos termos da série. Temos
. À medida que
cresce,
cresce muito mais rápido que
, o que sugere que os termos da série estão diminuindo.
Passo 3
Para verificar a convergência, vamos usar o Teste da Comparação. Esse teste nos permite comparar a série dada com outra série conhecida que é mais fácil de analisar.
Passo 4
Escolhemos comparar com a série
, onde
. Sabemos que essa série, chamada série p, converge se
. Como
, a série
converge.
Passo 5
Agora, comparamos os termos das duas séries:
Para algum constante
e para
suficientemente grande. Como
cresce mais lentamente que qualquer potência de
, podemos afirmar que existe um
tal que a desigualdade acima é válida.
Passo 6
Segundo o Teste da Comparação, se uma série
é menor ou igual a uma série convergente
, então
também converge. Aqui,
e
.
Passo 7
Portanto, pela comparação, a série original
também converge.
Passo 8
Agora, para calcular a soma da série, notamos que ela não possui uma forma fechada simples. Geralmente, séries que envolvem logaritmos elevados a potências não têm somas que podem ser expressas de forma elementar. Portanto, concluímos que embora a série seja convergente, não é viável calcular seu valor exato com as ferramentas básicas de cálculo.
Resposta
A série
é convergente, mas não é possível calcular o valor exato da soma com métodos elementares.
Exercícios relacionados
Calcule o valor de cada limite a seguir, se existir:
c)
c)
© Ache a matriz fundamental
que satisfaz
, para o sistema acima.
Encontre o valor médio da função
na região anular
, onde
.
Dada a função
Esta função é contínua para
? Justifique sua resposta utilizando a Definição 3.8 da apostila.