2,5 Considere o sistema e os vetores coluna
X' = (4 1; 6 5) X ; X1 = (1; -2) e^(2t), X2 = (1; 3) e^(7t)
(b) Forme uma matriz fundamental Phi(t) e calcule Phi^(-1)(t).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais lineares representado por:
E nos são fornecidas duas soluções vetoriais do sistema:
O conteúdo da matéria envolve sistemas de equações diferenciais lineares e matrizes fundamentais. Para resolver o exercício, vamos precisar entender como construir uma matriz fundamental a partir das soluções fornecidas e como calcular a sua inversa.

Passo 2

Uma matriz fundamental Phi(t) de um sistema de equações diferenciais é formada por colocar as soluções vetoriais do sistema como colunas. Isso significa que, se temos duas soluções linearmente independentes, podemos criar Phi(t) da seguinte maneira:
Substituindo as soluções fornecidas:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a inversa dessa matriz fundamental, Phi^(-1)(t). Para isso, vamos usar a fórmula da inversa de uma matriz 2x2:
Aplicando essa fórmula à nossa matriz Phi(t):
  • a =
  • b =
  • c =
  • d =
Primeiro, calculamos o determinante :
Agora, aplicamos a fórmula da inversa:

Resposta

A matriz fundamental é
e a sua inversa é

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  • Dada a função f(x) = (x - 1) / (x^2 - 1)
    d) Faça o gráfico da função.
  • Dada a função f(x) = (x - 1) / (x^2 - 1)
    c) Determine as assíntotas horizontais, se existirem.
  • Dada a função f(x) = (x - 1) / (x^2 - 1)
    b) Determine as assíntotas verticais, se existirem.
2,5 Considere o sistema e os vetores coluna
X' = (4 1; 6 5) X ; X1 = (1; -2) e^(2t), X2 = (1; 3) e^(7t)
© Ache a matriz fundamental Psi(t) que satisfaz Psi(0) = I, para o sistema acima.