Considere o sólido que está no primeiro octante e é limitado pelos planos coordenados e pelo plano . Calcule a integral do item a).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui a gente tem um sólido que está no primeiro octante (ou seja, onde , e são todos positivos) e é limitado pelos planos coordenados e pelo plano . O conteúdo principal aqui é o cálculo de integrais múltiplas, especificamente uma integral tripla para encontrar o volume desse sólido. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração e configurar a integral tripla corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região sobre a qual vamos integrar. No primeiro octante, , e variam de 0 até algum valor positivo. O plano que limita o sólido é . Vamos resolver essa equação para para facilitar:
Isso nos dá a cota superior para em termos de e .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites para e . No plano , a equação fica:
Isso define uma linha que conecta os pontos e no plano . Portanto, varia de 0 a 1, e para cada valor de , varia de 0 até .

Passo 4

Com os limites definidos, podemos montar a integral tripla para encontrar o volume do sólido :
Aqui, estamos integrando 1 (já que queremos o volume) em ordem , , e .

Passo 5

Vamos começar resolvendo a integral mais interna, que é em relação a :
Agora, a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar em relação a :
Substituindo os limites:
Simplificando:

Passo 7

Agora, a integral fica:
Vamos integrar termo a termo:
Somando tudo:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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Determine .