Considere o sólido que está no primeiro octante e é limitado pelos planos coordenados e pelo plano . Calcule a integral do item a).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui a gente tem um sólido que está no primeiro octante (ou seja, onde , e são todos positivos) e é limitado pelos planos coordenados e pelo plano . O conteúdo principal aqui é o cálculo de integrais múltiplas, especificamente uma integral tripla para encontrar o volume desse sólido. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração e configurar a integral tripla corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região sobre a qual vamos integrar. No primeiro octante, , e variam de 0 até algum valor positivo. O plano que limita o sólido é . Vamos resolver essa equação para para facilitar:
Isso nos dá a cota superior para em termos de e .
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites para e . No plano , a equação fica:
Isso define uma linha que conecta os pontos e no plano . Portanto, varia de 0 a 1, e para cada valor de , varia de 0 até .
Passo 4
Com os limites definidos, podemos montar a integral tripla para encontrar o volume do sólido :
Aqui, estamos integrando 1 (já que queremos o volume) em ordem , , e .
Passo 5
Vamos começar resolvendo a integral mais interna, que é em relação a :