(Peso: 2,0) Considere uma lâmina triangular com vértices e com densidade . Determine:
O centro de massa.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma lâmina triangular com vértices em (0,0), (0,3) e (3,0). A densidade dessa lâmina varia conforme kg/m². Nosso objetivo aqui é encontrar o centro de massa dessa lâmina. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral aplicados à física, especificamente para encontrar centros de massa de distribuições contínuas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a região que vamos integrar. A lâmina é um triângulo no plano xy com vértices em (0,0), (0,3) e (3,0). Isso significa que os limites de integração vão de x = 0 a x = 3, e para cada x, y varia de 0 até a reta que liga (0,3) a (3,0). Essa reta pode ser encontrada pela equação .
Passo 3
Para encontrar o centro de massa, precisamos primeiro calcular a massa total da lâmina. A massa é dada pela integral dupla da densidade sobre a área da lâmina:
Substituindo os limites de integração que definimos:
Passo 4
Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a y:
Agora, integramos esse resultado em relação a x:
Vamos expandir :
Então,
Integrando termo a termo:
Então, a massa total kg.
Passo 5
Agora, vamos calcular as coordenadas do centro de massa e . Para isso, usamos as seguintes fórmulas:
Vamos calcular primeiro:
Expandindo e integrando similar ao passo anterior, encontramos:
Agora, para :
Explicando rápido, após integrar e simplificar:
Resposta
O centro de massa da lâmina triangular é dado por .