Sabemos que se , então , quando . Se , então a solução se aproxima de 0 , quando . Se , então a solução se aproxima de -2 , quando . Para cada uma das funções abaixo, faça um esboço de e das soluções da equação diferencial . Qual das alternativas representa a função do PVI acima?
a
c
d
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar qual das funções dadas corresponde à equação diferencial do problema inicial, onde sabemos o comportamento das soluções dependendo do valor inicial . Estamos lidando com Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e precisamos analisar os pontos de equilíbrio e sua estabilidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os pontos para os quais as soluções tendem quando vai para mais infinito:
Se , .
Se , .
Se , .
Isso indica que , e são pontos de equilíbrio da EDO, ou seja, onde .
Passo 3
Agora, vamos verificar as opções de dadas e identificar os pontos onde :
a)
As raízes são , , e as raízes de , que dá .
c)
Raízes: , e raízes de , que dá .
d)
Raízes: , , e .
e)
Raízes: , (da parte , simplificando dá ), e .
Passo 4
Todas as opções têm , e como pontos de equilíbrio, exceto a opção d), que tem em vez de . Como no enunciado sabemos que tende a 2, 0 ou -2, a opção d) já não se encaixa.
Além disso, precisamos considerar a estabilidade desses pontos:
deve ser um ponto estável (solução tende para ele).
também deve ser estável.
deve ser estável.
Isso significa que, próximo desses pontos, a derivada deve ter sinais que direcionem as soluções para esses pontos.
Passo 5
Comparando as opções restantes:
Nas opções a), c) e d), todas têm os pontos de equilíbrio corretos, mas apenas a opção d) tem , que não é mencionado no enunciado.
A opção c) possui os pontos de equilíbrio corretos e a função está estruturada de forma que os sinais de direcionem as soluções para os pontos de equilíbrio conforme o comportamento descrito no enunciado.