Considere o seguinte problema de valor inicial (PVI).
Resolva a equação diferencial e encontre a solução do PVI. Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do PVI dado?
a (-raiz(15) * raiz(2)^(1/4) / 12, +infinito).
d (-3 * raiz(2)^(1/4) / 4, +infinito)
b (-infinito, (raiz(15) * raiz(2^(1/4))) / 12).
e -\infty, +\infty.
c (-infinito, 3*raiz(2)/4).
f (-raiz(15) * raiz(2)^(1/4) / 12, raiz(15) * raiz(2)^(1/4) / 12).
■ (-3 * raiz(2)^(1/4) / 4, 3 * raiz(2)^(1/4) / 4).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI) juntos! A gente precisa resolver uma equação diferencial do tipo:
E a gente também tem uma condição inicial que diz que quando , . Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis e . Isso significa reorganizar a equação para ter todos os termos com de um lado e todos os termos com do outro. Começamos multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:
Agora, vamos reescrever isso como:
Assim, conseguimos separar as variáveis!
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia é achar uma função que satisfaça a equação diferencial. Vamos integrar o lado esquerdo em relação a e o lado direito em relação a :
Passo 4
Vamos fazer as integrações:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Então, depois de integrar, a gente tem:
Onde é a constante de integração.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o valor da constante usando a condição inicial . Vamos substituir e na equação que encontramos:
Vamos calcular passo a passo:
Então,
Simplificando:
Para subtrair, vamos colocar em denominador comum (16):
Passo 6
Agora que temos o valor de , podemos escrever a solução geral da equação:
Para simplificar, podemos dividir tudo por 2:
Mas para facilitar, vamos deixar na forma anterior:
Passo 7
Agora, precisamos encontrar o intervalo de validade da solução. Isso significa descobrir para quais valores de a solução está bem definida. Observamos que no denominador original, , não pode ser zero porque não podemos dividir por zero.
Então, vamos resolver:
Mas nossa condição inicial é , que está dentro dos valores permitidos. Para garantir que a solução permanece válida, precisamos que não alcance . Isso impõe restrições nos valores de .
Com base na solução que encontramos e nos cálculos necessários para evitar que o denominador seja zero, chegamos ao intervalo de validade.
Resposta
A alternativa que representa o intervalo de validade da solução do PVI dado é: