Considere o seguinte problema de valor inicial (PVI).
dy/dx = 6x / (6y^2 - 3) ; y(0) = raiz(2) / 4
Resolva a equação diferencial e encontre a solução do PVI. Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do PVI dado?
a (-raiz(15) * raiz(2)^(1/4) / 12, +infinito).
d (-3 * raiz(2)^(1/4) / 4, +infinito)
b (-infinito, (raiz(15) * raiz(2^(1/4))) / 12).
e -\infty, +\infty.
c (-infinito, 3*raiz(2)/4).
f (-raiz(15) * raiz(2)^(1/4) / 12, raiz(15) * raiz(2)^(1/4) / 12).
(-3 * raiz(2)^(1/4) / 4, 3 * raiz(2)^(1/4) / 4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI) juntos! A gente precisa resolver uma equação diferencial do tipo:
E a gente também tem uma condição inicial que diz que quando , . Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis e . Isso significa reorganizar a equação para ter todos os termos com de um lado e todos os termos com do outro. Começamos multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:
Agora, vamos reescrever isso como:
Assim, conseguimos separar as variáveis!

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia é achar uma função que satisfaça a equação diferencial. Vamos integrar o lado esquerdo em relação a e o lado direito em relação a :

Passo 4

Vamos fazer as integrações:
  1. Lado esquerdo:
  1. Lado direito:
Então, depois de integrar, a gente tem:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor da constante usando a condição inicial . Vamos substituir e na equação que encontramos:
Vamos calcular passo a passo:
  1. Então,
Simplificando:
Para subtrair, vamos colocar em denominador comum (16):

Passo 6

Agora que temos o valor de , podemos escrever a solução geral da equação:
Para simplificar, podemos dividir tudo por 2:
Mas para facilitar, vamos deixar na forma anterior:

Passo 7

Agora, precisamos encontrar o intervalo de validade da solução. Isso significa descobrir para quais valores de a solução está bem definida. Observamos que no denominador original, , não pode ser zero porque não podemos dividir por zero.
Então, vamos resolver:
Mas nossa condição inicial é , que está dentro dos valores permitidos. Para garantir que a solução permanece válida, precisamos que não alcance . Isso impõe restrições nos valores de .
Com base na solução que encontramos e nos cálculos necessários para evitar que o denominador seja zero, chegamos ao intervalo de validade.

Resposta

A alternativa que representa o intervalo de validade da solução do PVI dado é:
(-3 * raiz(2)^(1/4) / 4, 3 * raiz(2)^(1/4) / 4).

Exercícios relacionados

Considere a solução do PVI
dy/dt = f(y) ; y(0) = y0
Sabemos que se y0 > 2, então y(t) -> 2, quando t -> +infinito. Se 0 < y0 < a, então a solução se aproxima de 0 , quando t -> +infinito. Se y0 < 0, então a solução se aproxima de -2 , quando t -> +infinito. Para cada uma das funções f(y) abaixo, faça um esboço de f(y) e das soluções da equação diferencial dy/dt = f(y). Qual das alternativas representa a função f(y) do PVI acima?
a f(y) = -(y^3 - 2y^2)(y^2 + 4y + 4)
c f(y) = -(y^3 + 4y^2 + 4y)(y^2 - 4y + 4)
quadrado f(y) = - (y^3 + 2y^2)(y^2 - 4y + 4)
d f(y) = (y^3 - 4y^2 + 4y)(y^2 + 4y + 4)
A partir da equação diferencial
cos(2t) dy/dt + (2cos(2t) - 2sen(2t))y = 2e^(-2t)cos(2t)
encontre a sua solução geral. Qual das alternativas representa a solução geral da equação?
a y(t) = (2 * e^(-2 * t) * sen(2 * t)) / cos(2 * t) + (c * e^(-2 * t)) / cos(2 * t)
e y(t) = e^(-2 t) sen(2 t) / cos(2 t) + c
b y(t) = (1/2) * (e^(-2t) * sen(2t) / cos(2t)) + c
f y(t) = -e^(-4t)/cos(2t) + c*e^(2t)/cos(2t)
C y(t) = 1/2 * (e^(-2 t) * sen(2 t) / cos(2 t)) + (c * e^(-2 t) / cos(2 t))
g y(t) = e^(-2t) * sen(2t) / cos(2t)
d y(t) = (1/2) * (e^(-2 t) * sen(2 t) / cos(2 t))
y(t) = (e^(-2 t) sen(2 t))/(cos(2 t)) + (c e^(-2 t))/(cos(2 t))
Qual das alternativas representa a solução geral da equação diferencial
3 dy/dt - 9/t y = t^7 ?
y(t) = t^8 / 15 + c t^3.
d] y(t) = t^8 / 15 + c.
(b) y(t) = -t^8 + c t^9.
e y(t) = -t^8 + c.
c) y(t) = t^11 / 2 + c t^9.
f] y(t) = t^11 / 2 + c.
Qual das alternativas representa a solução geral da equação diferencial
3 dy/dt - 9/t y = t^6 ?
y(t) = t^7 / 12 + c t^3.
d] y(t) = t^7 / 12 + c.
b y(t) = -t^7/2 + c t^9.
e) y(t) = -t^7/2 + c.
© y(t) = t^10 + c t^9.
f y(t) = t^10 + c.