Qual das alternativas representa a solução geral da equação diferencial
.
d]
.
(b)
.
e
.
c)
.
f]
.
d]
(b)
e
c)
f]
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa equação diferencial que a gente tem aqui:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante. Vamos precisar lembrar de como encontrar esse fator e resolver a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação no formato padrão:
Dividindo todos os termos por 3, ficamos com:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Calculando a integral:
Então:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando:
Isso fica:
Passo 5
Integrando ambos os lados:
O lado esquerdo simplifica para
. A integral do lado direito é:
Passo 6
Agora, isolamos
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Portanto, a alternativa correta é a (a)
.
Exercícios relacionados
Considere o seguinte problema de valor inicial (PVI).
Resolva a equação diferencial e encontre a solução do PVI. Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do PVI dado?
a(-raiz(15) * raiz(2)^(1/4) / 12, +infinito) .
d(-3 * raiz(2)^(1/4) / 4, +infinito)
b(-infinito, (raiz(15) * raiz(2^(1/4))) / 12) .
e-\infty, +\infty .
c(-infinito, 3*raiz(2)/4) .
f(-raiz(15) * raiz(2)^(1/4) / 12, raiz(15) * raiz(2)^(1/4) / 12) .
■(-3 * raiz(2)^(1/4) / 4, 3 * raiz(2)^(1/4) / 4) .
a
d
b
e
c
f
■
Considere a solução do PVI
Sabemos que se
y0 > 2 , então
y(t) -> 2 , quando
t -> +infinito . Se
0 < y0 < a , então a solução se aproxima de 0 , quando
t -> +infinito . Se
y0 < 0 , então a solução se aproxima de -2 , quando
t -> +infinito . Para cada uma das funções
f(y) abaixo, faça um esboço de
f(y) e das soluções da equação diferencial
dy/dt = f(y) . Qual das alternativas representa a função
f(y) do PVI acima?
af(y) = -(y^3 - 2y^2)(y^2 + 4y + 4)
cf(y) = -(y^3 + 4y^2 + 4y)(y^2 - 4y + 4)
quadrado f(y) = - (y^3 + 2y^2)(y^2 - 4y + 4)
df(y) = (y^3 - 4y^2 + 4y)(y^2 + 4y + 4)
a
c
d
Qual das alternativas representa a solução geral da equação diferencial
d]
b
e)
©
f
Considere a solução do problema de valor inicial
Podemos afirmar que
Se-1 < y0 < 0 , então a solução se aproxima de 0 , quando
t -> +infinito . Se
y0 > 0 , então a solução se aproxima de +1 , quando
t -> +infinito . Se
y0 < -1 , então
|y(t)| -> +infinito , quando
t cresce.
b Se-1 < y0 < +1 , então a solução se aproxima de 0 , quando
t -> +infinito . Se
y0 < -1 , então
|y(t)| -> +infinito , quando
t cresce. Se
y0 > 1 , então a solução se aproxima de +1 , quando
t -> +infinito .
c Sey0 > 0 , então a solução se aproxima de +1 , quando
t -> +infinito . Se
-1 < y0 < 0 , então a solução se aproxima de -1 , quando
t -> +infinito . Se
y0 < -1 , então
|y(t)| -> +infinito , quando
t cresce.
d Se-1 < y0 < 0 , então a solução se aproxima de -1 , quando
t -> +infinito . Se
0 < y0 < 1 , então a solução se aproxima de +1 , quando
t -> +infinito . Se
y0 < -1 ou
y0 > 1 , então
|y(t)| -> +infinito , quando
t cresce.
e Sey0 < -1 , então a solução se aproxima de -1 , quando
t -> +infinito . Se
-1 < y0 < 1 , então a solução se aproxima de 0 , quando
t -> +infinito . Se
y0 > 1 , então a solução se aproxima de +1 , quando
t -> +infinito .
f Sey0 < -1 , então a solução se aproxima de -1 , quando
t -> +infinito . Se
-1 < y0 < 0 , então a solução se aproxima de 0 , quando
t -> +infinito . Se
y0 > 0 , então a solução se aproxima de +1 , quando
t -> +infinito .
Se
b Se
c Se
d Se
e Se
f Se