Qual das alternativas representa a solução geral da equação diferencial
3 dy/dt - 9/t y = t^7 ?
y(t) = t^8 / 15 + c t^3.
d] y(t) = t^8 / 15 + c.
(b) y(t) = -t^8 + c t^9.
e y(t) = -t^8 + c.
c) y(t) = t^11 / 2 + c t^9.
f] y(t) = t^11 / 2 + c.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa equação diferencial que a gente tem aqui:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante. Vamos precisar lembrar de como encontrar esse fator e resolver a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação no formato padrão:
Dividindo todos os termos por 3, ficamos com:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Calculando a integral:
Então:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando:
Isso fica:

Passo 5

Integrando ambos os lados:
O lado esquerdo simplifica para . A integral do lado direito é:

Passo 6

Agora, isolamos y:
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Portanto, a alternativa correta é a (a) y(t) = t^8 / 15 + c t^3.

Exercícios relacionados

Considere o seguinte problema de valor inicial (PVI).
dy/dx = 6x / (6y^2 - 3) ; y(0) = raiz(2) / 4
Resolva a equação diferencial e encontre a solução do PVI. Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do PVI dado?
a (-raiz(15) * raiz(2)^(1/4) / 12, +infinito).
d (-3 * raiz(2)^(1/4) / 4, +infinito)
b (-infinito, (raiz(15) * raiz(2^(1/4))) / 12).
e -\infty, +\infty.
c (-infinito, 3*raiz(2)/4).
f (-raiz(15) * raiz(2)^(1/4) / 12, raiz(15) * raiz(2)^(1/4) / 12).
(-3 * raiz(2)^(1/4) / 4, 3 * raiz(2)^(1/4) / 4).
Considere a solução do PVI
dy/dt = f(y) ; y(0) = y0
Sabemos que se y0 > 2, então y(t) -> 2, quando t -> +infinito. Se 0 < y0 < a, então a solução se aproxima de 0 , quando t -> +infinito. Se y0 < 0, então a solução se aproxima de -2 , quando t -> +infinito. Para cada uma das funções f(y) abaixo, faça um esboço de f(y) e das soluções da equação diferencial dy/dt = f(y). Qual das alternativas representa a função f(y) do PVI acima?
a f(y) = -(y^3 - 2y^2)(y^2 + 4y + 4)
c f(y) = -(y^3 + 4y^2 + 4y)(y^2 - 4y + 4)
quadrado f(y) = - (y^3 + 2y^2)(y^2 - 4y + 4)
d f(y) = (y^3 - 4y^2 + 4y)(y^2 + 4y + 4)
Qual das alternativas representa a solução geral da equação diferencial
3 dy/dt - 9/t y = t^6 ?
y(t) = t^7 / 12 + c t^3.
d] y(t) = t^7 / 12 + c.
b y(t) = -t^7/2 + c t^9.
e) y(t) = -t^7/2 + c.
© y(t) = t^10 + c t^9.
f y(t) = t^10 + c.
Considere a solução do problema de valor inicial
dy/dt = -(y^3 + y^2)(y - 1) y(t0) = y0
Podemos afirmar que
Se -1 < y0 < 0, então a solução se aproxima de 0 , quando t -> +infinito. Se y0 > 0, então a solução se aproxima de +1 , quando t -> +infinito. Se y0 < -1, então |y(t)| -> +infinito, quando t cresce.
b Se -1 < y0 < +1, então a solução se aproxima de 0 , quando t -> +infinito. Se y0 < -1, então |y(t)| -> +infinito, quando t cresce. Se y0 > 1, então a solução se aproxima de +1 , quando t -> +infinito.
c Se y0 > 0, então a solução se aproxima de +1 , quando t -> +infinito. Se -1 < y0 < 0, então a solução se aproxima de -1 , quando t -> +infinito. Se y0 < -1, então |y(t)| -> +infinito, quando t cresce.
d Se -1 < y0 < 0, então a solução se aproxima de -1 , quando t -> +infinito. Se 0 < y0 < 1, então a solução se aproxima de +1 , quando t -> +infinito. Se y0 < -1 ou y0 > 1, então |y(t)| -> +infinito, quando t cresce.
e Se y0 < -1, então a solução se aproxima de -1 , quando t -> +infinito. Se -1 < y0 < 1, então a solução se aproxima de 0 , quando t -> +infinito. Se y0 > 1, então a solução se aproxima de +1 , quando t -> +infinito.
f Se y0 < -1, então a solução se aproxima de -1 , quando t -> +infinito. Se -1 < y0 < 0, então a solução se aproxima de 0 , quando t -> +infinito. Se y0 > 0, então a solução se aproxima de +1 , quando t -> +infinito.