Considere a soma infinita de frações representada a seguir. \sf \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{100}} + \frac{1}{{1\,000}} + \frac{1}{{10\;000}} \ldots A soma ocorre com frações de numerador igual a 1 e denominadores formados por potências de 10. O valor dessa soma infinita de frações é
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a soma de uma sequência infinita de frações onde o numerador é sempre 1 e o denominador é uma potência de 10. Estamos trabalhando com uma série geométrica, que é um tipo de progressão onde cada termo depois do primeiro é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar séries geométricas infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o primeiro termo da nossa série. Na sequência $ \frac{1}{10} + \frac{1}{100} + \frac{1}{1,000} + \frac{1}{10,000} + ··· $, o primeiro termo $ a_1 $ é $ \frac{1}{10} $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a razão $ r $ da série. A razão é o número pelo qual multiplicamos um termo para chegar ao próximo. Observando a sequência:
Então, a razão $ r $ é $ \frac{1}{10} $.
Passo 4
Para somar uma série geométrica infinita, usamos a fórmula:
Essa fórmula só funciona se a razão $ r $ for um número entre -1 e 1, o que é o caso aqui porque $ r = \frac{1}{10} $.
Passo 5
Vamos aplicar a fórmula com os valores que encontramos:
Resposta
O valor da soma infinita dessa série de frações é $ \frac{1}{9} $, que em forma decimal é aproximadamente 0,111…