Considere a soma infinita de frações representada a seguir. \sf \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{100}} + \frac{1}{{1\,000}} + \frac{1}{{10\;000}} \ldots A soma ocorre com frações de numerador igual a 1 e denominadores formados por potências de 10. O valor dessa soma infinita de frações é

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a soma de uma sequência infinita de frações onde o numerador é sempre 1 e o denominador é uma potência de 10. Estamos trabalhando com uma série geométrica, que é um tipo de progressão onde cada termo depois do primeiro é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar séries geométricas infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o primeiro termo da nossa série. Na sequência $ \frac{1}{10} + \frac{1}{100} + \frac{1}{1,000} + \frac{1}{10,000} + ··· $, o primeiro termo $ a_1 $ é $ \frac{1}{10} $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a razão $ r $ da série. A razão é o número pelo qual multiplicamos um termo para chegar ao próximo. Observando a sequência:
r
Então, a razão $ r $ é $ \frac{1}{10} $.

Passo 4

Para somar uma série geométrica infinita, usamos a fórmula:
S = a11 - r
Essa fórmula só funciona se a razão $ r $ for um número entre -1 e 1, o que é o caso aqui porque $ r = \frac{1}{10} $.

Passo 5

Vamos aplicar a fórmula com os valores que encontramos:
S = 1101 - 110 = 110910 = 110 times 109 = 19

Resposta

O valor da soma infinita dessa série de frações é $ \frac{1}{9} $, que em forma decimal é aproximadamente 0,111…

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