A função inversa de f, dada f(x)= x^3 – 3, para x>0.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é para encontrar a função inversa de $ f(x) = x^3 - 3 $, onde $ x > 0 $. Isso envolve o conteúdo de funções inversas na matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender como inverter uma função, ou seja, encontrar uma nova função que “desfaça” o que a função original faz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função inversa. Se $ f $ é uma função, sua inversa $ f^{-1} $ é aquela que, quando aplicada depois de $ f $, retorna o valor original. Ou seja, $ f^{-1}(f(x)) = x $.
Passo 3
Para encontrar a inversa, vamos seguir esses passos:
- Substituir $ f(x) $ por $ y $:
2. Trocar $ x $ e $ y $:
- Resolver essa equação para $ y $, que será a nossa função inversa $ f^{-1}(x) $.
Passo 4
Vamos começar trocando $ x $ e $ y $:
Agora, nosso objetivo é isolar $ y $.
Passo 5
Adicionamos 3 em ambos os lados para começar a isolar $ y $:
Passo 6
Agora, para resolver para $ y $, tiramos a raiz cúbica de ambos os lados:
Passo 7
Pronto! Essa é a nossa função inversa. Então, a inversa de $ f(x) = x^3 - 3 $ é:
Resposta
A função inversa é $ f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x + 3} $.