A função inversa de f, dada f(x)= x^3 – 3, para x>0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é para encontrar a função inversa de $ f(x) = x^3 - 3 $, onde $ x > 0 $. Isso envolve o conteúdo de funções inversas na matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender como inverter uma função, ou seja, encontrar uma nova função que “desfaça” o que a função original faz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função inversa. Se $ f $ é uma função, sua inversa $ f^{-1} $ é aquela que, quando aplicada depois de $ f $, retorna o valor original. Ou seja, $ f^{-1}(f(x)) = x $.

Passo 3

Para encontrar a inversa, vamos seguir esses passos:
  1. Substituir $ f(x) $ por $ y $: f(x)
    2. Trocar $ x $ e $ y $:
    y
  2. Resolver essa equação para $ y $, que será a nossa função inversa $ f^{-1}(x) $.

Passo 4

Vamos começar trocando $ x $ e $ y $:
x
Agora, nosso objetivo é isolar $ y $.

Passo 5

Adicionamos 3 em ambos os lados para começar a isolar $ y $:
y

Passo 6

Agora, para resolver para $ y $, tiramos a raiz cúbica de ambos os lados:
y

Passo 7

Pronto! Essa é a nossa função inversa. Então, a inversa de $ f(x) = x^3 - 3 $ é:
f(x) = x^3 - 3

Resposta

A função inversa é $ f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x + 3} $.

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