Considere um tanque com largura , completo até uma altura de . Calcular as componentes e e a linha de ação da força resultante vertical e horizontal na superficie curva com raio .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um tanque com largura de 3,0 metros e altura de 3,0 metros, e uma superfície curva com raio de 1,2 metros. O que a gente precisa calcular são as forças horizontal ( ) e vertical ( ) que agem nessa superfície curva, além de descobrir onde essa força resultante está atuando, ou seja, a linha de ação. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática de fluidos, especialmente a pressão hidrostática e como ela se distribui sobre superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a pressão em um fluido em repouso aumenta com a profundidade. A fórmula que descreve essa pressão é:
Onde:
  • é a pressão no ponto considerado,
  • é a densidade do fluido (vamos considerar água com ),
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a profundidade abaixo da superfície do fluido.

Passo 3

Agora, vamos pensar em um elemento diferencial de área na superfície curva do tanque. Esse pequeno pedaço de área, , vai sentir uma pressão , que gera uma força diferencial .
Como a superfície é curva, precisamos expressar em termos de coordenadas apropriadas. Vamos assumir que a curva é vertical e semicircular (já que o raio é dado), então podemos usar coordenadas polares para facilitar a integração.

Passo 4

Para encontrar as componentes horizontal e vertical das forças, precisamos integrar a força diferencial sobre toda a superfície curva.
A componente horizontal pode ser encontrada integrando a pressão vezes a área diferencial vezes o cosseno do ângulo, e a componente vertical é a pressão vezes a área diferencial vezes o seno do ângulo.
Após realizar as integrações, nós obtemos:
Onde e .

Passo 5

Para encontrar a linha de ação da força resultante, ou seja, onde essa força está “aplicada” na superfície, precisamos calcular o centro de pressão. O centro de pressão é a altura a partir da base onde a força resultante pode ser considerada concentrada.
A fórmula para o centro de pressão em uma superfície vertical plana é:
Onde:
  • é o momento de inércia da área em relação ao eixo horizontal,
  • é a área total,
  • é a coordenada do centroide da área.
Para a superfície curva, adaptamos essa fórmula considerando a geometria específica da curva. Após os cálculos, obtemos a posição da linha de ação em relação à base do tanque.

Resposta

Após os cálculos, as componentes das forças na superfície curva são:
A linha de ação da força resultante está localizada a uma altura de aproximadamente acima da base do tanque.

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