(5,0) Considere um terreno com grama, algumas construções e árvores onde se deseja implantar um parque eólico. Após analisar 10200 leituras de velocidade de vento, tomadas a 15 m de altura, os seguintes dados foram obtidos: 85 % das velocidades são de 7,5 m / s ; 12 % das velocidades são 5 m / s e as leituras restantes apresentavam velocidade de vento de 12 m / s. Esse cenário leva a uma quase constância no comportamento do vento. Adote rho=1,2 kg / m^3 e determine, diante do contexto apresentado, os seguintes parâmetros:
d) O desvio padrão da velocidade, levando-se em conta as velocidades estimadas na altura de 60 m ;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um terreno onde se quer instalar um parque eólico, e foram feitas 10.200 medições da velocidade do vento a 15 metros de altura. A distribuição dessas velocidades é: 85% com 7,5 m/s, 12% com 5 m/s e o restante com 12 m/s. A gente precisa calcular o desvio padrão da velocidade do vento, mas considerando essas velocidades ajustadas para uma altura de 60 metros. Para resolver isso, vamos precisar entender como ajustar a velocidade do vento para diferentes alturas e depois calcular o desvio padrão com esses novos valores.

Passo 2

Primeiro, vamos ajustar as velocidades do vento de 15 metros para 60 metros de altura. Para isso, usamos a Lei de Potência do Vento, que nos ajuda a estimar como a velocidade do vento muda com a altura. A fórmula é:
V2 = V1 ( H2H1 )^alpha
Aqui:
  • $ V_1 $ é a velocidade do vento na altura inicial (15 m).
  • $ V_2 $ é a velocidade do vento na altura desejada (60 m).
  • $ H_1 $ e $ H_2 $ são as alturas inicial e final, respectivamente.
  • $ \alpha $ é o expoente de potência, que depende do terreno. Para terrenos abertos, um valor comum é 0,14.
Vamos assumir $ \alpha = 0,14 $ para esse cálculo.

Passo 3

Agora, vamos calcular as velocidades ajustadas para 60 metros usando a fórmula acima para cada uma das velocidades originais.
Para $ V_1 = 5 $ m/s:
V1 = 5
Para $ V_1 = 7,5 $ m/s:
V2 = 5 ( 6015 )^0,14 = 5 times 4^0,14 approx 5 times 1,2457 approx 6,23 m/s
Para $ V_1 = 12 $ m/s:
V1 = 7,5

Passo 4

Com as velocidades ajustadas para 60 metros, agora vamos calcular o desvio padrão. Primeiro, precisamos encontrar a média ($ \mu $) das velocidades ajustadas.
As frequências são:
  • 85% de 9,34 m/s
  • 12% de 6,23 m/s
  • 3% de 14,95 m/s (já que 85% + 12% = 97%, restam 3%)
Calculando a média:
mu

Passo 5

Agora, vamos calcular o desvio padrão ($ \sigma $). A fórmula é:
sigma
Onde:
  • $ V_i $ são as velocidades ajustadas.
  • $ P_i $ são as probabilidades correspondentes.
Vamos calcular cada parte:
Para 9,34 m/s:
sigma = raizsum (Vi - mu)^2 times Pi
Para 6,23 m/s:
Vi
Para 14,95 m/s:
Pi
Somando tudo:
(9,34 - 9,135)^2 times 0,85 approx (0,205)^2 times 0,85 approx 0,042 times 0,85 approx 0,0357
Então,
(6,23 - 9,135)^2 times 0,12 approx (-2,905)^2 times 0,12 approx 8,439 times 0,12 approx 1,0127

Resposta

O desvio padrão da velocidade do vento a 60 metros de altura é aproximadamente 1,44 m/s.

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