Considere todos os possíveis retângulos que possuem perímetro igual a 80 cm.Dentre esses retângulos, determine aquela que terá área máxima. Qual será essa area?

Passo 1

Vamos entender o problema: queremos encontrar, entre todos os retângulos com perímetro de 80 cm, aquele que tem a maior área. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria relacionados a perímetro e área dos retângulos, além de técnicas de otimização.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as fórmulas básicas de um retângulo. Se chamarmos os lados do retângulo de $ x $ e $ y $, então:
  • O perímetro $ P $ é dado por: x
  • A área $ A $ é dada por: y

Passo 3

Sabemos que o perímetro é fixo e igual a 80 cm. Então podemos escrever a equação:
2x + 2y = 80
Vamos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 2:
x + y = 40
Agora, temos uma relação entre $ x $ e $ y $.

Passo 4

Queremos maximizar a área $ A = x \times y $. Mas, como temos a relação $ x + y = 40 $, podemos expressar $ y $ em função de $ x $:
A = x times y

Passo 5

Substituímos $ y $ na fórmula da área para ter a área em termos de apenas uma variável:
y
Isso nos dá:
A = x times (40 - x)

Passo 6

Para encontrar o valor de $ x $ que maximiza a área, vamos derivar $ A(x) $ em relação a $ x $ e igualar a derivada a zero. A derivada de $ A(x) $ é:
x
Igualando a zero:
A(x)

Passo 7

Resolvendo a equação para $ x $:
x
Então, $ x = 20 $ cm. Como $ y = 40 - x $:
2x = 40 x = 20

Resposta

O retângulo que maximiza a área com perímetro de 80 cm é um quadrado com lados de 20 cm. A área máxima é:
A = 20 times 20 = 400 cm^2

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