Considere todos os possíveis retângulos que possuem perímetro igual a 80 cm.Dentre esses retângulos, determine aquela que terá área máxima. Qual será essa area?
Passo 1
Vamos entender o problema: queremos encontrar, entre todos os retângulos com perímetro de 80 cm, aquele que tem a maior área. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria relacionados a perímetro e área dos retângulos, além de técnicas de otimização.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar as fórmulas básicas de um retângulo. Se chamarmos os lados do retângulo de $ x $ e $ y $, então:
- O perímetro $ P $ é dado por:
- A área $ A $ é dada por:
Passo 3
Sabemos que o perímetro é fixo e igual a 80 cm. Então podemos escrever a equação:
Vamos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 2:
Agora, temos uma relação entre $ x $ e $ y $.
Passo 4
Queremos maximizar a área $ A = x \times y $. Mas, como temos a relação $ x + y = 40 $, podemos expressar $ y $ em função de $ x $:
Passo 5
Substituímos $ y $ na fórmula da área para ter a área em termos de apenas uma variável:
Isso nos dá:
Passo 6
Para encontrar o valor de $ x $ que maximiza a área, vamos derivar $ A(x) $ em relação a $ x $ e igualar a derivada a zero. A derivada de $ A(x) $ é:
Igualando a zero:
Passo 7
Resolvendo a equação para $ x $:
Então, $ x = 20 $ cm. Como $ y = 40 - x $:
Resposta
O retângulo que maximiza a área com perímetro de 80 cm é um quadrado com lados de 20 cm. A área máxima é: