Considere a transformação linear definida por .
Mostre que é um isomorfismo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma transformação linear definida por . O nosso objetivo aqui é mostrar que é um isomorfismo.
Conteúdo da matéria: Transformações lineares, isomorfismos, injetividade e sobrejetividade.
O que vamos precisar: Entender o que é um isomorfismo e como verificar se uma transformação linear é injetora e sobrejetora.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um isomorfismo. Em álgebra linear, um isomorfismo é uma transformação linear que é injetora (cada elemento do domínio mapeia para um único elemento no contradomínio) e sobrejetora (todo elemento do contradomínio é atingido por pelo menos um elemento do domínio). Se uma transformação linear tiver essas duas propriedades, ela é um isomorfismo, ou seja, existe uma correspondência perfeita entre os dois espaços vetoriais.
Passo 3
Vamos verificar se é injetora. Para isso, a gente precisa provar que se , então . Outra forma de fazer isso é mostrar que o núcleo (ou a kernel) de contém apenas o vetor zero.
Então, vamos considerar .
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 4
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, temos .
Da terceira equação, temos .
Substituindo e na segunda equação: ⇒ .
Portanto, a única solução para o sistema é , o que significa que o único polinômio que mapeia para o vetor zero é o vetor zero mesmo. Isso prova que é injetora.
Passo 5
Agora, vamos verificar se a = x a + b + c = y c = z é sobrejetora. Para isso, precisamos mostrar que para todo vetor , existe um polinômio tal que .
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, .
Da terceira equação, .
Substituindo e na segunda equação: ⇒ .
Então, para qualquer , podemos escolher , e para obter um polinômio que mapeia para . Portanto, é sobrejetora.
Resposta
Como é injetora e sobrejetora, concluímos que é um isomorfismo.