Beleza, vamos resolver esse sistema linear que você enviou! O enunciado apresenta três equações com cinco incógnitas: , , , e . O conteúdo que vamos usar aqui é o método de eliminação de Gauss, que nos ajuda a simplificar o sistema para encontrar soluções ou expressá-las em termos de parâmetros quando não há soluções únicas. Vamos precisar organizar as equações e eliminar variáveis passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de forma clara:
2x + z - w = 2 &(Equação 1) x + 2y - z + t + w = 1 &(Equação 2) 3x - 2y + 3z - t - 3w = 3 &(Equação 3) çãçãçã
Aqui, nosso objetivo é eliminar uma variável de duas equações para facilitar a resolução. Vamos começar eliminando .
Passo 3
Para eliminar Equação 1 times 1: 2x + z - w = 2 , podemos multiplicar a Equação 1 por 1 e a Equação 2 por 2 e depois subtrair as duas. Isso vai cancelar o Equação 2 times 2: 2x + 4y - 2z + 2t + 2w = 2 .
Vamos resolver esse sistema para Equação 5 times 2: -4y + 3z - 2t - 3w = 0 e (4y - 3z + 2t + 3w) + (-4y + 3z - 2t - 3w) = 0 + 0 em termos de 0y + 0z + 0t + 0w = 0 e . Para isso, multiplicamos a Equação 5 por 2 para facilitar a eliminação de :
çã
Agora, somamos essa nova equação com a Equação 4:
Isso nos mostra que as Equações 4 e 5 são dependentes, ou seja, uma é múltiplo da outra. Isso indica que temos infinitas soluções, e podemos expressar algumas variáveis em termos de outras.
Passo 6
Vamos escolher duas variáveis como parâmetros livres. Vamos selecionar 4y - 3z + 2t + 3w = 0 e 4y = 3z - 2t - 3w y = 3z - 2t - 3w4 como parâmetros. Assim, podemos expressar -2y + 1.5z - t - 1.5w = 0 e -2(3z - 2t - 3w4) + 1.5z - t - 1.5w = 0 -6z - 4t - 6w4 + 1.5z - t - 1.5w = 0 -3z - 2t - 3w2 + 3z2 - t - 1.5w = 0 em função de -3z2 + t + 3w2 + 3z2 - t - 1.5w = 0 0 + 0 + 0w = 0 e .
Usando a Equação 4:
Podemos resolver para :
Ainda precisamos relacionar com e . Usando a Equação 5:
Substituindo na Equação 5:
Simplificando:
Isso confirma novamente que as equações são dependentes e não nos dão mais informações sobre .
Portanto, podemos deixar como um parâmetro adicional. Mas já que escolhemos e como parâmetros, vamos definir em termos de e .
Vamos assumir que seja uma combinação linear de e . Mas para simplificar, vamos expressar em termos de e .
Passo 7
Agora, vamos voltar à Equação 1 para encontrar 2x + z - w = 2 em termos de 2x = 2 - z + w x = 2 - z + w2 e .
A Equação 1 é:
Isolando :
Como não temos uma relação direta para , deixaremos como (um parâmetro adicional), mas podemos expressar as soluções em termos de , , e .
Passo 8
Resumindo, as soluções do sistema são:
x = 2 - z + w2 y = 3z - 2t - 3w4 z = z (livre) t = t (livre) w = w (livre)
Isso significa que para qualquer valor escolhido de , e , podemos encontrar valores correspondentes de e que satisfazem o sistema.
Resposta
A solução do sistema é dada por:
x = dfrac2 - z + w2 y = dfrac3z - 2t - 3w4 z = livre t = livre w = livre
Ou seja, , e podem assumir qualquer valor real, e e são determinados a partir desses valores.