Considere a transformação definida por e a transformação linear dada por .
Verifique se é um isomorfismo. Em caso positivo, encontre a lei de .
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é verificar se é um isomorfismo, ou seja, se ela é bijetora (injeção e sobrejeção). Se for, também precisamos encontrar a lei de , que é a transformação inversa de .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma transformação linear ser um isomorfismo e como verificar injetividade e sobrejetividade. Além disso, vamos utilizar conceitos de matrizes e invertibilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se é injetora. Uma transformação linear é injetora se o único vetor que mapeia para o vetor zero é o vetor zero. No nosso caso, queremos ver se implica que .
Isso significa resolver o sistema:
Passo 3
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, (a + b) + (a - b) = 2a = 0 Rightarrow a = 0 .
Da primeira equação, 0 + b = 0 Rightarrow b = 0 .
Da terceira equação, .
Somando as equações 1 e 3:
Substituindo na equação 1:
Portanto, , o que mostra que a única solução para é . Isso confirma que é injetora.
Passo 4
Agora, vamos verificar se S(a + b x + c x^2) = (a + b, c, a - b) = (y1, y2, y3) é sobrejetora. Uma transformação linear é sobrejetora se todo vetor em a + b = y1 c = y2 a - b = y3 tem uma pré-imagem em .
Vamos considerar um vetor arbitrário e tentar encontrar tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 5
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, (a + b) + (a - b) = 2a = y1 + y3 Rightarrow a = y1 + y32 .
Somando a primeira e a terceira equação:
(a + b) - (a - b) = 2b = y1 - y3 Rightarrow b = y1 - y32
Subtraindo a terceira equação da primeira:
Assim, para qualquer , encontramos que satisfazem as equações. Isso mostra que é sobrejetora.
Passo 6
Como a = y1 + y32, b = y1 - y32, c = y2 é tanto injetora quanto sobrejetora, concluímos que é um isomorfismo.
Agora, vamos encontrar a lei de . A transformação inversa deve mapear um vetor de volta para um polinômio .
Com base nas equações que resolvemos:
Resposta
A transformação S^-1(y1, y2, y3) = ( y1 + y32 ) + ( y1 - y32 ) x + y2 x^2 é um isomorfismo e sua transformação inversa é dada por: