Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
T: M(2,2) R^4 dada por T([lla & b c & d])=(2 a+b, b+c+d, 2 a+c, 2 c+d).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com uma transformação linear que leva matrizes para vetores em . Precisamos encontrar uma base e a dimensão tanto do núcleo (onde manda tudo para zero) quanto da imagem (todos os possíveis resultados de ). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como soluções de sistemas lineares e matriz associada à transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo de a & b c & d , ou seja, todos os a & b c & d que satisfazem 2a + b = 0 b + c + d = 0 2a + c = 0 2c + d = 0 . Isso significa que:
Essas equações formam um sistema linear que vamos resolver para achar os valores de que fazem tudo dar zero.

Passo 3

Vamos resolver o sistema passo a passo:
  1. Da terceira equação: => .
  2. Da quarta equação: => . Substituindo , temos .
  3. Da primeira equação: => .
  4. Da segunda equação: , que já está satisfeita.

Passo 4

Então, todas as variáveis estão em função de a = a b = -2a c = -2a d = 4a . Podemos expressar a solução geral como:
a 1 & -2 -2 & 4
Isso significa que o núcleo é gerado por todas as matrizes da forma:
Então, uma base para o núcleo é apenas essa matriz, e como temos um parâmetro livre ( ), a dimensão do núcleo é 1.

Passo 5

Agora, vamos para o conjunto imagem de . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podemos obter aplicando a qualquer matriz . Para encontrar uma base para a imagem, vamos ver quais vetores podemos obter.

Passo 6

Vamos montar a matriz das imagens dos vetores básicos de E1 = 1 & 00 & 0, E2 = 0 & 10 & 0, E3 = 0 & 01 & 0, E4 = 0 & 00 & 1 . Os vetores básicos são:
T(E1) = (2, 0, 2, 0) T(E2) = (1, 1, 0, 0) T(E3) = (0, 1, 1, 2) T(E4) = (0, 1, 0, 1)
Aplicando a cada um:

Passo 7

Agora, organizamos esses vetores em uma matriz e buscamos a combinação linear mínima que gera todos eles, ou seja, encontramos o posto dessa matriz:
2 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 1 2 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 & 1
Realizando operações de linha, verificamos que o posto dessa matriz é 3, então a dimensão da imagem é 3. Podemos escolher três vetores que sejam linearmente independentes para formar a base. Por exemplo:
(2, 0, 2, 0), (1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 2)

Resposta

(i) Núcleo de 1 & -2 -2 & 4:
  • Base:
  • Dimensão: 1
(ii) Imagem de :
  • Base:
  • Dimensão: 3

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