Sejam T, S: R^3 R^3 transformações lineares dadas por
T(x, y, z)=(x+y, y+z, z) e S(x, y, z)=(x+2 y, y-z, x+2 z)
Encontre uma base para os conjuntos imagens de T circ S e S circ T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma base para os conjuntos imagem das transformações lineares compostas e . Aqui, estamos trabalhando com transformações lineares no espaço tridimensional . Para isso, vamos precisar entender como compor transformações lineares e identificar as imagens resultantes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são T(x, y, z) = (x + y, y + z, z) e S(x, y, z) = (x + 2y, y - z, x + 2z) . As transformações são definidas por:
T = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 , S = 1 & 2 & 0 0 & 1 & -1 1 & 0 & 2
Para facilitar, vamos representar essas transformações como matrizes. Assim, temos:

Passo 3

Agora, vamos compor as transformações. Primeiro, vamos calcular T circ S = T cdot S = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 cdot 1 & 2 & 0 0 & 1 & -1 1 & 0 & 2 = 1 & 3 & -1 1 & 1 & 1 1 & 0 & 2 , que significa aplicar primeiro e depois . Para isso, multiplicamos as matrizes e :
[
T \circ S = T \cdot S =
\cdot


]

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar o conjunto imagem de c1 = 1 1 1 , c2 = 3 1 0 , c3 = -1 1 2 . O conjunto imagem é formado pelas combinações lineares das colunas da matriz resultante. As colunas são:
Precisamos verificar se essas colunas são linearmente independentes. Após analisar, percebemos que a terceira coluna pode ser escrita como combinação das duas primeiras, então só precisamos de duas colunas independentes para formar a base.

Passo 5

Portanto, uma base para o conjunto imagem de 1 1 1 , 3 1 0 é formada pelas duas primeiras colunas:

Passo 6

Agora, vamos calcular S circ T = S cdot T = 1 & 2 & 0 0 & 1 & -1 1 & 0 & 2 cdot 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 = 1 & 3 & 2 0 & 1 & 0 1 & 1 & 2 , ou seja, aplicar primeiro e depois . Multiplicamos as matrizes na ordem inversa:
[
S \circ T = S \cdot T =
\cdot


]

Passo 7

Vamos agora encontrar o conjunto imagem de d1 = 1 0 1 , d2 = 3 1 1 , d3 = 2 0 2 . As colunas dessa matriz são:
Novamente, verificamos a independência linear e constatamos que a terceira coluna é combinação das duas primeiras. Então, basta escolher duas colunas independentes para a base.

Passo 8

Assim, uma base para o conjunto imagem de 1 0 1 , 3 1 1 é dada por:

Resposta

Uma base para o conjunto imagem de 1 1 1 é 3 1 0 e uma base para o conjunto imagem de 1 0 1 é 3 1 1 .

Exercícios relacionados