Considere um triângulo ABC retângulo em A, onde AB=21 e AC=20. BD é a bissetriz do ângulo ABC. Quanto mede AD?
a) 45/5
b) 21/20
c) 20/21
d) 9
e) 8
a) 45/5
b) 21/20
c) 20/21
d) 9
e) 8
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui! Temos um triângulo retângulo ABC, onde o ângulo reto está no vértice A. Os lados AB e AC medem 21 e 20 unidades, respectivamente. Além disso, BD é a bissetriz do ângulo em B, ou seja, divide esse ângulo em duas partes iguais. A pergunta é: quanto mede AD?
Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema da Bissetriz, que ajuda a relacionar os lados de um triângulo quando uma bissetriz divide um dos ângulos. Então, vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o comprimento do lado BC, que é a hipotenusa do nosso triângulo retângulo. Usamos o Teorema de Pitágoras para isso, que diz que em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
Usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Então, BC mede 29 unidades.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema da Bissetriz, que afirma que a bissetriz de um ângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes a esse ângulo.
No nosso caso, isso significa que:
Substituindo os valores que já temos:
Passo 4
Sabemos que AD + DC = AC, que é 20 unidades. Vamos chamar AD de “21k” e DC de “29k” para manter a proporção.
Então:
Passo 5
Agora que temos o valor de k, podemos encontrar AD:
Como as opções são números inteiros, arredondamos para o valor mais próximo, que é 8.
Resposta
e) 8