Considere um triângulo ABC retângulo em A, onde AB=21 e AC=20. BD é a bissetriz do ângulo ABC. Quanto mede AD?
a) 45/5
b) 21/20
c) 20/21
d) 9
e) 8

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui! Temos um triângulo retângulo ABC, onde o ângulo reto está no vértice A. Os lados AB e AC medem 21 e 20 unidades, respectivamente. Além disso, BD é a bissetriz do ângulo em B, ou seja, divide esse ângulo em duas partes iguais. A pergunta é: quanto mede AD?
Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema da Bissetriz, que ajuda a relacionar os lados de um triângulo quando uma bissetriz divide um dos ângulos. Então, vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o comprimento do lado BC, que é a hipotenusa do nosso triângulo retângulo. Usamos o Teorema de Pitágoras para isso, que diz que em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
Usando a fórmula:
BC = raizAB^2 + AC^2
Substituindo os valores:
BC = raiz21^2 + 20^2 = raiz441 + 400 = raiz841 = 29
Então, BC mede 29 unidades.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema da Bissetriz, que afirma que a bissetriz de um ângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes a esse ângulo.
No nosso caso, isso significa que:
ADDC = ABBC
Substituindo os valores que já temos:
ADDC = 2129

Passo 4

Sabemos que AD + DC = AC, que é 20 unidades. Vamos chamar AD de “21k” e DC de “29k” para manter a proporção.
Então:
21k + 29k = 20
50k = 20
k = 2050 = 0,4

Passo 5

Agora que temos o valor de k, podemos encontrar AD:
AD = 21k = 21 times 0,4 = 8,4
Como as opções são números inteiros, arredondamos para o valor mais próximo, que é 8.

Resposta

e) 8

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