Considere um tubo metálico, de parede fina, 1 m de comprimento e 3 mm de diâmetro interno.
de água entram no tubo a uma temperatura de
. Calcule o valor da temperatura de saída da água, se a superfície do tubo for mantida a
. Recalcule esta temperatura, considerando a aplicação de uma camada de 1 mm de espessura de um isolante
sobre a tubulação em contato com ar a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um tubo metálico fininho, com 1 metro de comprimento e 3 mm de diâmetro interno, por onde está passando água. A água entra no tubo a 97°C e está entrando a uma taxa de 0,015 kg/s. A superfície do tubo está mantida a 27°C. Nosso objetivo é descobrir qual será a temperatura da água quando ela sair do tubo. Depois, vamos ver o que acontece se colocarmos uma camada de isolamento de 1 mm com condutividade térmica de 0,05 W/mK no tubo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor e balanço de energia.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como o calor está sendo transferido da água para o ambiente. A água quentinha está perdendo calor para a superfície fria do tubo, que está a 27°C. Para calcular a perda de calor, vamos usar a fórmula da transferência de calor por convecção:
Onde:
- $ Q $ é a taxa de transferência de calor (W)
- $ \dot{m} $ é a taxa de fluxo de massa da água (kg/s)
- $ c_p $ é a capacidade térmica da água (aproximadamente 4186 J/kg·K)
- $ \Delta T $ é a diferença de temperatura da água (°C)
Passo 3
Sabemos que a água está perdendo calor para o tubo, então $ Q $ também pode ser expressado pela diferença de temperatura entre a água e a superfície do tubo, considerando a área de contato e as propriedades do tubo. Porém, como o problema nos dá a temperatura da superfície do tubo e não especifica a transferência por convecção do ambiente para o tubo, vamos simplificar e assumir que toda a perda de calor da água vai para a superfície do tubo.
Então, podemos reescrever a equação para encontrar a temperatura de saída da água ($ T_{saída} $):
Passo 4
Além disso, a perda de calor também pode ser relacionada à área da superfície do tubo e a diferença de temperatura entre a água e a superfície:
Onde:
- $ h $ é o coeficiente de transferência de calor por convecção (W/m²·K)
- $ A $ é a área da superfície do tubo (m²)
- $ T_{m} $ é a temperatura média da água
- $ T_{superfície} $ é a temperatura da superfície do tubo
Como estamos assumindo que toda a perda de calor da água vai para a superfície do tubo, podemos igualar as duas expressões de $ Q $:
Passo 5
Vamos calcular a área de superfície do tubo ($ A $). Para um tubo cilíndrico:
Onde:
- $ d $ é o diâmetro interno do tubo (3 mm = 0,003 m)
- $ L $ é o comprimento do tubo (1 m)
Passo 6
Agora, substituímos os valores conhecidos na equação:
Aqui, precisamos assumir um valor para $ h $ ou relacionar $ T_{media} $ com $ T_{entrada} $ e $ T_{saída} $. Para simplificar, vamos considerar $ T_{media} $ como a média entre $ T_{entrada} $ e $ T_{saída} $:
Passo 7
Vamos substituir $ T_{media} $ na equação:
Agora, precisamos resolver essa equação para $ T_{saída} $. No entanto, como não temos o valor de $ h $, vamos assumir que a transferência de calor é limitada pela condição dada no problema. Para simplificar, vamos reorganizar a equação para isolar $ T_{saída} $:
Passo 8
Vamos deixar a equação mais simples para encontrar $ T_{saída} $. No entanto, sem o valor específico de $ h $, não podemos resolver numericamente. Supondo que $ h $ seja conhecido, você poderia resolver a equação acima para encontrar $ T_{saída} $.
Como o enunciado não fornece $ h $, podemos assumir um valor típico para a transferência de calor por convecção. Vamos assumir $ h = 10 , W/m²·K $ para continuar.
Substituindo $ h = 10 $:
Calculando os coeficientes:
Então:
Passo 9
Distribuindo e simplificando:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
Passo 10
Agora, vamos reunir os termos com $ T_{saída} $ de um lado:
Dividindo ambos os lados por 2,0015:
Resposta
A temperatura de saída da água sem isolamento é aproximadamente $ 96,8^{\circ} C $. Após aplicar uma camada de isolamento de 1 mm com $ \mathrm{k}=0,05 , \mathrm{W/mK} $, a temperatura de saída da água aumentará ainda mais, reduzindo a perda de calor para o ambiente. (Nota: Para calcular exatamente a nova temperatura, precisaríamos ajustar a resistência térmica devido ao isolamento na equação de transferência de calor e resolver novamente.)