Para um fluxo irrotacional, qual função escalar existe tal que seu gradiente é o vetor velocidade?
(a) Função de corrente
(b) Potencial de velocidade
© Circulação
(d) Vorticidade
(a) Função de corrente
(b) Potencial de velocidade
© Circulação
(d) Vorticidade
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um fluxo irrotacional, que é aquele onde não tem rotação nas partículas do fluido. A gente precisa descobrir qual função escalar tem o gradiente igual ao vetor velocidade desse fluxo. Pra resolver, vamos precisar entender sobre gradiente, funções escalares e as características de um fluxo irrotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um fluxo irrotacional. Isso significa que o rotacional do vetor velocidade, que representamos por
, é igual a zero:
Quando isso acontece, podemos dizer que existe uma função escalar, chamada de potencial de velocidade (
), tal que o vetor velocidade é o gradiente dessa função:
Ou seja, a velocidade do fluido pode ser obtida derivando a função escalar
em relação às coordenadas espaciais.
Passo 3
Vamos analisar as opções:
(a) Função de corrente: Essa função é usada principalmente em fluxos bidimensionais e relaciona as componentes da velocidade, mas não é exatamente a função cujo gradiente dá a velocidade.
(b) Potencial de velocidade: Como vimos no passo anterior, em um fluxo irrotacional, existe uma função escalar
tal que
. Essa é exatamente a definição do potencial de velocidade.
© Circulação: A circulação é uma medida da tendência das partículas do fluido girarem em torno de um caminho fechado. Ela é calculada por:
Mas a circulação não é uma função escalar que, ao ser derivada, dá a velocidade.
(d) Vorticidade: A vorticidade é o rotacional do vetor velocidade:
No caso de fluxo irrotacional, a vorticidade é zero. Além disso, a vorticidade não é uma função escalar relacionada diretamente ao gradiente da velocidade.
Passo 4
Analisando as opções, a opção (b) Potencial de velocidade é a única que satisfaz a condição de que seu gradiente é o vetor velocidade em um fluxo irrotacional.
Resposta
(b) Potencial de velocidade