Para um fluxo irrotacional, qual função escalar existe tal que seu gradiente é o vetor velocidade?
(a) Função de corrente
(b) Potencial de velocidade
© Circulação
(d) Vorticidade

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um fluxo irrotacional, que é aquele onde não tem rotação nas partículas do fluido. A gente precisa descobrir qual função escalar tem o gradiente igual ao vetor velocidade desse fluxo. Pra resolver, vamos precisar entender sobre gradiente, funções escalares e as características de um fluxo irrotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um fluxo irrotacional. Isso significa que o rotacional do vetor velocidade, que representamos por nabla times v, é igual a zero:
nabla times v = 0
Quando isso acontece, podemos dizer que existe uma função escalar, chamada de potencial de velocidade ( phi), tal que o vetor velocidade é o gradiente dessa função:
v = nabla phi
Ou seja, a velocidade do fluido pode ser obtida derivando a função escalar phi em relação às coordenadas espaciais.

Passo 3

Vamos analisar as opções:
(a) Função de corrente: Essa função é usada principalmente em fluxos bidimensionais e relaciona as componentes da velocidade, mas não é exatamente a função cujo gradiente dá a velocidade.
(b) Potencial de velocidade: Como vimos no passo anterior, em um fluxo irrotacional, existe uma função escalar phi tal que v = nabla phi. Essa é exatamente a definição do potencial de velocidade.
© Circulação: A circulação é uma medida da tendência das partículas do fluido girarem em torno de um caminho fechado. Ela é calculada por:
Gamma = oint v cdot dl
Mas a circulação não é uma função escalar que, ao ser derivada, dá a velocidade.
(d) Vorticidade: A vorticidade é o rotacional do vetor velocidade:
omega = nabla times v
No caso de fluxo irrotacional, a vorticidade é zero. Além disso, a vorticidade não é uma função escalar relacionada diretamente ao gradiente da velocidade.

Passo 4

Analisando as opções, a opção (b) Potencial de velocidade é a única que satisfaz a condição de que seu gradiente é o vetor velocidade em um fluxo irrotacional.

Resposta

(b) Potencial de velocidade

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