Considere um tubo sólido longo, isolado no raio externo r2 e resfriado no raio interno r1, com geração uniforme de calor dotqG(W / m^3) no interior do sólido. Para sistema unidimensional em r e estado estacionário obtenha a expressão para a distribuição de temperaturas no tubo;
Resp: T(r)=Ts, 2+dotqG4 k(r2^2-r^2)-dotqG2 k r2^2 ln (r2r)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos um tubo sólido comprido com raio externo que está sendo resfriado no raio interno . Dentro do material do tubo, há uma geração uniforme de calor (em W/m³). Nosso objetivo é encontrar como a temperatura varia ao longo do raio do tubo em condições de estado estacionário e considerando que o fluxo de calor é unidimensional radialmente.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor em regime estacionário com geração interna, aplicando a equação de condução de calor na coordenada radial.

Passo 2

Vamos começar escrevendo a equação de condução de calor para estado estacionário com geração interna no sistema coordenado radialmente. A equação geral em coordenadas cilíndricas para fluxo unidimensional em 1r ddr ( r dTdr ) + dotqGk = 0 é:
Aqui, é a temperatura, é a coordenada radial, é a geração de calor por unidade de volume, e é a condutividade térmica do material.

Passo 3

Vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por ddr ( r dTdr ) + dotqG rk = 0 para simplificar:
r dTdr = -dotqG r^22k + C1
Agora, integramos em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Dividimos ambos os lados por dTdr = -dotqG r2k + C1r para isolar T(r) = -dotqG r^24k + C1 ln(r) + C2 :
Integramos novamente em relação a :
Onde é outra constante de integração.

Passo 5

Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar Ts,1 = -dotqG r1^24k + C1 ln(r1) + C2 e Ts,2 = -dotqG r2^24k + C1 ln(r2) + C2 . Sabemos que no raio interno Ts,1 - Ts,2 = -dotqG (r1^2 - r2^2)4k + C1 (ln(r1) - ln(r2)) , a temperatura é C1 = Ts,1 - Ts,2 + dotqG (r1^2 - r2^2)4kln(r1r2) , e no raio externo , a temperatura é .
Aplicando :
Aplicando :
Subtraindo as duas equações para eliminar :
Resolvendo para :

Passo 6

Substituindo T(r) = Ts,2 + dotqG4k ( r2^2 - r^2 ) - dotqG r2^22k ln( r2r ) de volta na equação de e reorganizando os termos, obtemos a expressão final para a distribuição de temperaturas no tubo:

Resposta

T(r) = Ts,2 + dotqG4k(r2^2-r^2) - dotqG2k r2^2 ln (r2r)

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