Considere um tubo sólido longo, isolado no raio externo resfriado no raio interno , com geração uniforme de calor no interior do sólido. Para sistema unidimensional em r e estado estacionário obtenha a expressão para a distribuição de temperaturas no tubo;
Resp:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos um tubo sólido comprido com raio externo que está sendo resfriado no raio interno . Dentro do material do tubo, há uma geração uniforme de calor (em W/m³). Nosso objetivo é encontrar como a temperatura varia ao longo do raio do tubo em condições de estado estacionário e considerando que o fluxo de calor é unidimensional radialmente.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor em regime estacionário com geração interna, aplicando a equação de condução de calor na coordenada radial.

Passo 2

Vamos começar escrevendo a equação de condução de calor para estado estacionário com geração interna no sistema coordenado radialmente. A equação geral em coordenadas cilíndricas para fluxo unidimensional em é:
Aqui, é a temperatura, é a coordenada radial, é a geração de calor por unidade de volume, e é a condutividade térmica do material.

Passo 3

Vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por para simplificar:
Agora, integramos em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Dividimos ambos os lados por para isolar :
Integramos novamente em relação a :
Onde é outra constante de integração.

Passo 5

Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar e . Sabemos que no raio interno , a temperatura é , e no raio externo , a temperatura é .
Aplicando :
Aplicando :
Subtraindo as duas equações para eliminar :
Resolvendo para :

Passo 6

Substituindo de volta na equação de e reorganizando os termos, obtemos a expressão final para a distribuição de temperaturas no tubo:

Resposta

Exercícios relacionados

Uma esfera oca com raios interior e exterior de e , respectivamente, é revestida com uma camada de isolamento tendo um raio exterior de . Derive uma expressão para a taxa de transferência de calor pela esfera isolada em termos dos raios, das condutividades térmicas, dos coeficientes de transferência de calor e das temperaturas do interior e do meio circundante da esfera.
Resp.:
Resíduo radioativo ( ) é armazenado em um recipiente cilíndrico de aço inoxidável ( ), com diâmetros interno e externo de 1,0 e , respectivamente e 5 m de comprimento. Energia térmica é gerada uniformemente no interior do resíduo, a uma taxa volumétrica de . A superfície interna do recipiente é mantida a enquanto a sua superfície externa é exposta a água a , com um coeficiente convectivo de transferência de calor (h) igual a 1000 . As extremidades do arranjo cilíndrico estão isoladas, de modo que toda a transferência de calor ocorre na direção radial. Para essa situação considerando estado estacionário:
a) Determine a temperatura na superfície externa do recipiente de aço inoxidável; Resp.:
b) Desenvolva expressão para em termos teóricos na massa de resíduo considerando que o recipiente cilíndrico está totalmente preenchido (não usar números - deixar indicado)
Resp:
c) Determine a temperatura no centro da massa do resíduo considerando que o cilindro está totalmente preenchido. Resp.:
Transistores de potência que são comumente usados em dispositivos eletrônicos consomem grandes quantidades de energia elétrica. A taxa de falha de componentes eletrônicos aumenta quase exponencialmente com a temperatura de funcionamento. Como regra, a taxa de falha de componentes eletrônicos é reduzida pela metade a cada de redução na temperatura de funcionamento. Por isso, a temperatura de funcionamento dos componentes eletrônicos é mantida abaixo do nível seguro para minimizar o risco de falha. Os circuitos eletrônicos sensíveis de um transistor de potência são protegidos por um invólucro, uma cápsula rígida de metal. As características de transferência de calor do transistor de potência são normalmente especificadas pelo fabricante em relação à resistência térmica do invólucro para o ambiente, que representa tanto a transferência de calor por convecção, quanto por radiação. A resistência térmica do invólucro para o ambiente do transistor de potência que tem potência máxima de 10 W é de . Considerando que a temperatura do invólucro do transistor não deve ser superior a , determine a potência em que o transistor pode funcionar com segurança em um ambiente a .
Resp. q=3W
Vapor a e a uma pressão de está escoando a uma velocidade de por um tubo de aço carbono ( ) com 2,5 cm de diâmetro interno e 3,0 cm de diâmetro externo . O coeficiente de transferência de calor na superfície interna ( ) é . Uma película de sujeira na superfície interna adiciona uma resistência térmica unitária de . Além disso, a temperatura do ambiente externo é de e o coeficiente de transferência de calor por convecção na superfície externa ( ) é de .
a) (3) Estime a taxa de perda de calor por unidade de comprimento (m) da tubulação se o tubo não é isolado; Resp. 26,2318 W/m
b) (4) Estime a taxa de perda de calor por unidade de comprimento (m) da tubação se o tubo é coberto com uma camada de 5 cm de espessura de isolamento de magnésia 85% (kmagnesia 0,065 W/m K). Resp. 14,0354 W/m
c) (6) Na situação proposta a aplicação de isolante poderia levar ao aumento da taxa de transferência de calor e, com isso, não atingindo o objetivo da aplicação do isolamento térmico? Justifique sua resposta a partir do cálculo e conceito do raio crítico de isolamento.