Uma esfera oca com raios interior e exterior de
e
, respectivamente, é revestida com uma camada de isolamento tendo um raio exterior de
. Derive uma expressão para a taxa de transferência de calor pela esfera isolada em termos dos raios, das condutividades térmicas, dos coeficientes de transferência de calor e das temperaturas do interior e do meio circundante da esfera.
Resp.:
Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos uma esfera oca com raios interior
e exterior
. Essa esfera está revestida com uma camada de isolamento que tem um raio exterior de
. A tarefa é derivar uma expressão para a taxa de transferência de calor através dessa esfera isolada. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre transferência de calor por condução em esferas e como os diferentes materiais e camadas afetam essa transferência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transferência de calor pode ocorrer de duas formas principais: condução e convecção. Na condução, o calor passa diretamente através de um material sólido, enquanto na convecção, o calor é transferido entre a superfície do objeto e o meio ambiente ao redor.
Passo 3
Vamos considerar que a transferência de calor ocorre em série através de várias camadas: a primeira camada é a parede interna da esfera (do
ao
), a segunda é a camada de isolamento (do
ao
), e por fim, a transferência de calor do exterior da camada de isolamento para o ambiente através de convecção.
Passo 4
Para cada camada, podemos calcular uma resistência térmica que impede a transferência de calor. A resistência térmica para a condução em uma esfera é dada por:
onde
é a condutividade térmica do material e
é o raio.
Já para a convecção, a resistência térmica é:
onde
é o coeficiente de transferência de calor por convecção.
Passo 5
Agora, vamos identificar as resistências térmicas em cada parte do sistema:
-
Condução da esfera oca (do
ao ): -
Condução da camada de isolamento (do
ao ): -
Convecção do exterior da camada de isolamento para o ambiente:
Passo 6
A taxa total de transferência de calor
pode ser encontrada usando a fórmula de resistências térmicas em série:
onde
é a diferença de temperatura entre o interior e o ambiente, e
é a soma das resistências individuais:
Passo 7
Substituindo as resistências que calculamos:
Aqui,
é o coeficiente de transferência de calor por convecção na superfície interna.
Passo 8
Agora, juntando tudo na fórmula de
:
Resposta
A taxa de transferência de calor pela esfera isolada é dada por: