Uma esfera oca com raios interior e exterior de R1 e R2, respectivamente, é revestida com uma camada de isolamento tendo um raio exterior de R3. Derive uma expressão para a taxa de transferência de calor pela esfera isolada em termos dos raios, das condutividades térmicas, dos coeficientes de transferência de calor e das temperaturas do interior e do meio circundante da esfera.
Resp.:
q=4 pi(Tq-Tf)(1hi r1^2+r2-r1k1 r1 r2+r3-r2k1 r2 r3+1he r3^2)

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos uma esfera oca com raios interior e exterior . Essa esfera está revestida com uma camada de isolamento que tem um raio exterior de . A tarefa é derivar uma expressão para a taxa de transferência de calor através dessa esfera isolada. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre transferência de calor por condução em esferas e como os diferentes materiais e camadas afetam essa transferência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transferência de calor pode ocorrer de duas formas principais: condução e convecção. Na condução, o calor passa diretamente através de um material sólido, enquanto na convecção, o calor é transferido entre a superfície do objeto e o meio ambiente ao redor.

Passo 3

Vamos considerar que a transferência de calor ocorre em série através de várias camadas: a primeira camada é a parede interna da esfera (do ao ), a segunda é a camada de isolamento (do ao ), e por fim, a transferência de calor do exterior da camada de isolamento para o ambiente através de convecção.

Passo 4

Para cada camada, podemos calcular uma resistência térmica que impede a transferência de calor. A resistência térmica para a condução em uma esfera é dada por:
Rcond = 14 pi k r^2
onde Rconv = 1h 4 pi r^2 é a condutividade térmica do material e é o raio.
Já para a convecção, a resistência térmica é:
onde é o coeficiente de transferência de calor por convecção.

Passo 5

Agora, vamos identificar as resistências térmicas em cada parte do sistema:
  1. Condução da esfera oca (do R1 = 14 pi k1 R1^2 ao R2 = R3 - R24 pi k2 R2 R3 ):
    R3 = 14 pi he R3^2
  2. Condução da camada de isolamento (do ao ):
  3. Convecção do exterior da camada de isolamento para o ambiente:

Passo 6

A taxa total de transferência de calor q = De pode ser encontrada usando a fórmula de resistências térmicas em série:
Rtotal = R1 + R2 + R3
onde é a diferença de temperatura entre o interior e o ambiente, e é a soma das resistências individuais:

Passo 7

Substituindo as resistências que calculamos:
Rtotal = 14 pi hi R1^2 + R2 - R14 pi k1 R1 R2 + R3 - R24 pi k2 R2 R3 + 14 pi he R3^2
Aqui, é o coeficiente de transferência de calor por convecção na superfície interna.

Passo 8

Agora, juntando tudo na fórmula de q = 4 pi (Tq - Tf)1hi R1^2 + R2 - R1k1 R1 R2 + R3 - R2k2 R2 R3 + 1he R3^2 :

Resposta

A taxa de transferência de calor pela esfera isolada é dada por:
q=4 pi(Tq-Tf)(1hi R1^2+R2-R1k1 R1 R2+R3-R2k2 R2 R3+1he R3^2)

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