Resíduo radioativo (
) é armazenado em um recipiente cilíndrico de aço inoxidável (
), com diâmetros interno e externo de 1,0 e
, respectivamente e 5 m de comprimento. Energia térmica é gerada uniformemente no interior do resíduo, a uma taxa volumétrica de
. A superfície interna do recipiente é mantida a
enquanto a sua superfície externa é exposta a água a
, com um coeficiente convectivo de transferência de calor (h) igual a 1000
. As extremidades do arranjo cilíndrico estão isoladas, de modo que toda a transferência de calor ocorre na direção radial. Para essa situação considerando estado estacionário:
a) Determine a temperatura na superfície externa do recipiente de aço inoxidável; Resp.:
b) Desenvolva expressão para
em termos teóricos na massa de resíduo considerando que o recipiente cilíndrico está totalmente preenchido (não usar números - deixar indicado)
Resp:
c) Determine a temperatura no centro da massa do resíduo considerando que o cilindro está totalmente preenchido. Resp.:
a) Determine a temperatura na superfície externa do recipiente de aço inoxidável; Resp.:
b) Desenvolva expressão para
Resp:
c) Determine a temperatura no centro da massa do resíduo considerando que o cilindro está totalmente preenchido. Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um resíduo radioativo armazenado em um recipiente cilíndrico de aço inoxidável. O objetivo aqui é descobrir a temperatura na superfície externa desse recipiente. Vamos precisar usar conceitos de transferência de calor, especificamente condução e convecção em estado estacionário. Para isso, vamos aplicar fórmulas de condução térmica em cilindros e considerar a transferência de calor por convecção na superfície externa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. Temos energia térmica gerada uniformemente dentro do resíduo a uma taxa de
. Essa energia precisa ser dissipada para o ambiente através das paredes do cilindro.
Passo 3
Como o recipiente é cilíndrico e a transferência de calor ocorre na direção radial, vamos usar a fórmula da condução de calor para um cilindro com geração interna. A taxa de condução de calor
através de uma superfície cilíndrica é dada por:
onde:
-
é a condutividade térmica do aço inoxidável, -
é o comprimento do cilindro, -
é a temperatura na superfície interna, -
é a temperatura na superfície externa, -
e são os raios interno e externo do cilindro, respectivamente.
Passo 4
Mas, além disso, na superfície externa ocorre transferência de calor por convecção. A taxa de convecção
é dada por:
onde:
-
é o coeficiente convectivo, -
é a área externa do cilindro, -
é a temperatura da água.
Como o sistema está em estado estacionário, a taxa de condução de calor através das paredes deve ser igual à taxa de convecção na superfície externa:
Passo 5
Vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Agora, isolamos
:
Passo 7
Agora, vamos substituir os valores numéricos:
-
-
-
(meio diâmetro interno) -
(meio diâmetro externo) -
-
Primeiro, calculamos
.
Substituindo na fórmula:
Passo 8
Agora vamos derivar uma expressão geral para a temperatura
em qualquer ponto radial dentro do cilindro, considerando que ele está totalmente preenchido com o resíduo.
Passo 9
Usaremos a equação de condução de calor com geração interna em coordenadas cilíndricas. A equação diferencial é:
onde:
-
é a taxa volumétrica de geração de calor, -
é a condutividade térmica do material.
Passo 10
Integrando a equação:
Integrando novamente:
Passo 11
Aplicando as condições de contorno. No centro do cilindro (
), a derivada da temperatura deve ser zero para evitar uma singularidade, o que implica que
.
Assim, a expressão simplificada é:
Passo 12
Determinar
usando a condição na superfície interna (
) onde a temperatura é
:
Passo 13
Substituindo
na expressão de
:
Passo 14
Por fim, vamos calcular a temperatura no centro do resíduo (
) usando a expressão que desenvolvemos.
Passo 15
Substituindo
na expressão:
Passo 16
Usando os valores fornecidos:
-
-
-
(note que aqui a condutividade térmica é diferente, provavelmente do resíduo) -
Substituindo:
Resposta
A temperatura no centro da massa do resíduo é aproximadamente
.
Nota
Observe que a resposta apresentada no enunciado para a parte © é
. Isso sugere que pode haver uma discrepância nos valores utilizados ou na interpretação das condutividades térmicas entre o resíduo e o aço inoxidável. Recomenda-se verificar os parâmetros e as condições de contorno para assegurar a precisão dos cálculos.
Exercícios relacionados
Uma chapa fina está sujeita a puma radiação de micro-ondas e tem um aquecimento volumétrico que varia de acordo com a equação:
A espessura da chapa
, é de
e a condutividade térmica do material da chapa é igual a
. O contorno em
está perfeitamente isolado, enquanto a superfície em
está mantida a uma temperatura constante de 320 K .
a) Determine uma expressão para em termos de
e
.
a) Determine uma expressão para
b) Onde ocorrerá a temperatura máxima na chapa?
c) Qual é o valor de R Resp.: 500 K
c) Qual é o valor de
Para enviar água com uma vazão de
para um reservatório a altura H metros, qual a potência necessária?
Uma esfera oca com raios interior e exterior de
e
, respectivamente, é revestida com uma camada de isolamento tendo um raio exterior de
. Derive uma expressão para a taxa de transferência de calor pela esfera isolada em termos dos raios, das condutividades térmicas, dos coeficientes de transferência de calor e das temperaturas do interior e do meio circundante da esfera.
Resp.:
Resp.:
Considere um tubo sólido longo, isolado no raio externo
resfriado no raio interno
, com geração uniforme de calor
no interior do sólido. Para sistema unidimensional em r e estado estacionário obtenha a expressão para a distribuição de temperaturas no tubo;
Resp:
Resp: