Resíduo radioativo ( k=20 W / m K ) é armazenado em um recipiente cilíndrico de aço inoxidável ( k=15 W / m K ), com diâmetros interno e externo de 1,0 e 1,2 m, respectivamente e 5 m de comprimento. Energia térmica é gerada uniformemente no interior do resíduo, a uma taxa volumétrica de 50.000 W / m^3. A superfície interna do recipiente é mantida a 370^circ C enquanto a sua superfície externa é exposta a água a 25^circ C, com um coeficiente convectivo de transferência de calor (h) igual a 1000 W / m^2 K. As extremidades do arranjo cilíndrico estão isoladas, de modo que toda a transferência de calor ocorre na direção radial. Para essa situação considerando estado estacionário:
a) Determine a temperatura na superfície externa do recipiente de aço inoxidável; Resp.: 35,41^circ C
b) Desenvolva expressão para T(r) em termos teóricos na massa de resíduo considerando que o recipiente cilíndrico está totalmente preenchido (não usar números - deixar indicado)
Resp: T(r)=Ti+dotqG4 k(ri^2-r^2)
c) Determine a temperatura no centro da massa do resíduo considerando que o cilindro está totalmente preenchido. Resp.: 253,1^circ C

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um resíduo radioativo armazenado em um recipiente cilíndrico de aço inoxidável. O objetivo aqui é descobrir a temperatura na superfície externa desse recipiente. Vamos precisar usar conceitos de transferência de calor, especificamente condução e convecção em estado estacionário. Para isso, vamos aplicar fórmulas de condução térmica em cilindros e considerar a transferência de calor por convecção na superfície externa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. Temos energia térmica gerada uniformemente dentro do resíduo a uma taxa de . Essa energia precisa ser dissipada para o ambiente através das paredes do cilindro.

Passo 3

Como o recipiente é cilíndrico e a transferência de calor ocorre na direção radial, vamos usar a fórmula da condução de calor para um cilindro com geração interna. A taxa de condução de calor Q = 2pi L k (Ti - To)ln(ro/ri) através de uma superfície cilíndrica é dada por:
onde:
  • é a condutividade térmica do aço inoxidável,
  • é o comprimento do cilindro,
  • é a temperatura na superfície interna,
  • é a temperatura na superfície externa,
  • e são os raios interno e externo do cilindro, respectivamente.

Passo 4

Mas, além disso, na superfície externa ocorre transferência de calor por convecção. A taxa de convecção Qconv = h cdot A cdot (To - Tamb) é dada por:
2pi L k (Ti - To)ln(ro/ri) = h cdot 2pi ro L cdot (To - Tamb)
onde:
  • é o coeficiente convectivo,
  • é a área externa do cilindro,
  • é a temperatura da água.
Como o sistema está em estado estacionário, a taxa de condução de calor através das paredes deve ser igual à taxa de convecção na superfície externa:

Passo 5

Vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por k (Ti - To)ln(ro/ri) = h ro (To - Tamb) :

Passo 6

Agora, isolamos k (Ti - To) = h ro ln(ro/ri) (To - Tamb) :
k Ti - k To = h ro ln(ro/ri) To - h ro ln(ro/ri) Tamb
k Ti + h ro ln(ro/ri) Tamb = To (k + h ro ln(ro/ri))
To = k Ti + h ro ln(ro/ri) Tambk + h ro ln(ro/ri)

Passo 7

Agora, vamos substituir os valores numéricos:
  • To = 15 times 370 + 1000 times 0,6 times 0,1823 times 2515 + 1000 times 0,6 times 0,1823
  • To = 5550 + 2734,515 + 109,38 = 8284,5124,38 approx 66,55^circC
  • (meio diâmetro interno)
  • (meio diâmetro externo)
Primeiro, calculamos .
Substituindo na fórmula:

Passo 8

Agora vamos derivar uma expressão geral para a temperatura em qualquer ponto radial dentro do cilindro, considerando que ele está totalmente preenchido com o resíduo.

Passo 9

Usaremos a equação de condução de calor com geração interna em coordenadas cilíndricas. A equação diferencial é:
1r ddr ( r dTdr ) + dotqGk = 0
onde:
  • é a taxa volumétrica de geração de calor,
  • é a condutividade térmica do material.

Passo 10

Integrando a equação:
r dTdr = -dotqG2k r^2 + C1
dTdr = -dotqG2k r + C1r
Integrando novamente:
T(r) = -dotqG4k r^2 + C1 ln r + C2

Passo 11

Aplicando as condições de contorno. No centro do cilindro ( T(r) = -dotqG4k r^2 + C2 ), a derivada da temperatura deve ser zero para evitar uma singularidade, o que implica que .
Assim, a expressão simplificada é:

Passo 12

Determinar Ti = -dotqG4k ri^2 + C2 usando a condição na superfície interna ( C2 = Ti + dotqG4k ri^2 ) onde a temperatura é :

Passo 13

Substituindo T(r) = Ti + dotqG4k (ri^2 - r^2) na expressão de :

Passo 14

Por fim, vamos calcular a temperatura no centro do resíduo ( ) usando a expressão que desenvolvemos.

Passo 15

Substituindo T(0) = Ti + dotqG4k ri^2 na expressão:

Passo 16

Usando os valores fornecidos:
  • T(0) = 370 + 50.0004 times 20 times (0,5)^2
  • T(0) = 370 + 50.00080 times 0,25
  • T(0) = 370 + 625 times 0,25 = 370 + 156,25 = 526,25^circC (note que aqui a condutividade térmica é diferente, provavelmente do resíduo)
Substituindo:

Resposta

A temperatura no centro da massa do resíduo é aproximadamente .

Nota

Observe que a resposta apresentada no enunciado para a parte © é . Isso sugere que pode haver uma discrepância nos valores utilizados ou na interpretação das condutividades térmicas entre o resíduo e o aço inoxidável. Recomenda-se verificar os parâmetros e as condições de contorno para assegurar a precisão dos cálculos.

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