Resíduo radioativo ( ) é armazenado em um recipiente cilíndrico de aço inoxidável ( ), com diâmetros interno e externo de 1,0 e , respectivamente e 5 m de comprimento. Energia térmica é gerada uniformemente no interior do resíduo, a uma taxa volumétrica de . A superfície interna do recipiente é mantida a enquanto a sua superfície externa é exposta a água a , com um coeficiente convectivo de transferência de calor (h) igual a 1000 . As extremidades do arranjo cilíndrico estão isoladas, de modo que toda a transferência de calor ocorre na direção radial. Para essa situação considerando estado estacionário:
a) Determine a temperatura na superfície externa do recipiente de aço inoxidável; Resp.:
b) Desenvolva expressão para em termos teóricos na massa de resíduo considerando que o recipiente cilíndrico está totalmente preenchido (não usar números - deixar indicado)
Resp:
c) Determine a temperatura no centro da massa do resíduo considerando que o cilindro está totalmente preenchido. Resp.:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um resíduo radioativo armazenado em um recipiente cilíndrico de aço inoxidável. O objetivo aqui é descobrir a temperatura na superfície externa desse recipiente. Vamos precisar usar conceitos de transferência de calor, especificamente condução e convecção em estado estacionário. Para isso, vamos aplicar fórmulas de condução térmica em cilindros e considerar a transferência de calor por convecção na superfície externa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. Temos energia térmica gerada uniformemente dentro do resíduo a uma taxa de . Essa energia precisa ser dissipada para o ambiente através das paredes do cilindro.

Passo 3

Como o recipiente é cilíndrico e a transferência de calor ocorre na direção radial, vamos usar a fórmula da condução de calor para um cilindro com geração interna. A taxa de condução de calor através de uma superfície cilíndrica é dada por:
onde:
  • é a condutividade térmica do aço inoxidável,
  • é o comprimento do cilindro,
  • é a temperatura na superfície interna,
  • é a temperatura na superfície externa,
  • e são os raios interno e externo do cilindro, respectivamente.

Passo 4

Mas, além disso, na superfície externa ocorre transferência de calor por convecção. A taxa de convecção é dada por:
onde:
  • é o coeficiente convectivo,
  • é a área externa do cilindro,
  • é a temperatura da água.
Como o sistema está em estado estacionário, a taxa de condução de calor através das paredes deve ser igual à taxa de convecção na superfície externa:

Passo 5

Vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por :

Passo 6

Agora, isolamos :

Passo 7

Agora, vamos substituir os valores numéricos:
  • (meio diâmetro interno)
  • (meio diâmetro externo)
Primeiro, calculamos .
Substituindo na fórmula:

Passo 8

Agora vamos derivar uma expressão geral para a temperatura em qualquer ponto radial dentro do cilindro, considerando que ele está totalmente preenchido com o resíduo.

Passo 9

Usaremos a equação de condução de calor com geração interna em coordenadas cilíndricas. A equação diferencial é:
onde:
  • é a taxa volumétrica de geração de calor,
  • é a condutividade térmica do material.

Passo 10

Integrando a equação:
Integrando novamente:

Passo 11

Aplicando as condições de contorno. No centro do cilindro ( ), a derivada da temperatura deve ser zero para evitar uma singularidade, o que implica que .
Assim, a expressão simplificada é:

Passo 12

Determinar usando a condição na superfície interna ( ) onde a temperatura é :

Passo 13

Substituindo na expressão de :

Passo 14

Por fim, vamos calcular a temperatura no centro do resíduo ( ) usando a expressão que desenvolvemos.

Passo 15

Substituindo na expressão:

Passo 16

Usando os valores fornecidos:
  • (note que aqui a condutividade térmica é diferente, provavelmente do resíduo)
Substituindo:

Resposta

A temperatura no centro da massa do resíduo é aproximadamente .

Nota

Observe que a resposta apresentada no enunciado para a parte © é . Isso sugere que pode haver uma discrepância nos valores utilizados ou na interpretação das condutividades térmicas entre o resíduo e o aço inoxidável. Recomenda-se verificar os parâmetros e as condições de contorno para assegurar a precisão dos cálculos.

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b) Onde ocorrerá a temperatura máxima na chapa?
c) Qual é o valor de R Resp.: 500 K
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Resp.:
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Resp: