Considere um tubo em
, uniforme, com um diafragma em sua parte inferior, contendo um líquido a diferentes alturas em cada um dos seus ramos. Imagine agora que o diafragma é perfurado de modo que o líquido escoe da esquerda para a direita. (a) Mostre que a aplicação da equação de Bernoulli aos pontos 1 e 3 leva a uma contradição. (b) Explique porque a equação de Bernoulli não é aplicável a este problema. (Sugestão: 0 escoamento neste caso é estacionário?)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um tubo em U com um diafragma na parte de baixo, onde o líquido está em alturas diferentes nos dois ramos. Quando o diafragma é perfurado, o líquido começa a fluir da esquerda para a direita. A matéria que vamos usar aqui é a Mecânica dos Fluidos, mais especificamente a Equação de Bernoulli. Vamos precisar entender como aplicar essa equação em diferentes pontos do fluxo para resolver o exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Equação de Bernoulli. Ela relaciona a pressão, a velocidade e a altura em diferentes pontos de um fluido em escoamento contínuo e sem atritos. A equação é dada por:
onde:
-
é a pressão, -
é a densidade do fluido, -
é a velocidade do fluido, -
é a aceleração da gravidade, -
é a altura.
Passo 3
Vamos aplicar a Equação de Bernoulli aos pontos 1 e 3 mencionados no enunciado. Suponha que o ponto 1 está no ramo esquerdo e o ponto 3 no ramo direito do tubo em U. Segundo a equação:
Para o ponto 1:
Para o ponto 3:
Como ambos os pontos estão conectados pelo mesmo fluido, a constante
é a mesma.
Passo 4
Agora, vamos analisar as diferenças entre os pontos 1 e 3. No ponto 1, o líquido está descendo, então a velocidade
aumenta. No ponto 3, o líquido está subindo, então a velocidade
diminui. Além disso, as alturas
e
são diferentes devido ao escoamento.
Passo 5
Ao igualar as equações dos pontos 1 e 3, podemos tentar resolver para encontrar uma relação entre as velocidades e alturas. No entanto, devido às diferenças nas alturas e velocidades, acabamos chegando a uma contradição, ou seja, uma situação impossível de ocorrer com a Equação de Bernoulli aplicada dessa forma.
Passo 6
A contradição surge porque a Equação de Bernoulli pressupõe que o escoamento é estável e não há mudança de energia no sistema. Mas no caso apresentado, o fluxo está mudando devido ao escoamento do líquido, o que viola uma das condições necessárias para a aplicação correta da equação.
Resposta
(a) Ao aplicar a Equação de Bernoulli nos pontos 1 e 3, chegamos a uma contradição devido às diferenças nas alturas e velocidades dos fluxos, o que torna a equação inválida nesse contexto.
(b) A Equação de Bernoulli não é aplicável a este problema porque o escoamento não é estacionário; a velocidade do líquido está mudando continuamente, o que viola as condições de uso da equação.
(b) A Equação de Bernoulli não é aplicável a este problema porque o escoamento não é estacionário; a velocidade do líquido está mudando continuamente, o que viola as condições de uso da equação.