Considere uma urna contendo 3 bolas Vermelhas e 4 Pretas. Retire 2 bolas, COM reposição, e defina a variável aleatória (v.a.) X igual ao número de bolas Pretas.
b) Construa o gráfico da função de prob. de X.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma urna com 3 bolas Vermelhas e 4 bolas Pretas, totalizando 7 bolas. A gente vai retirar 2 bolas, com reposição (ou seja, depois de tirar uma bola, a colocamos de volta na urna antes de tirar a próxima). A variável aleatória $ X $ representa o número de bolas Pretas que tiramos nessas duas retiradas. A matéria que vamos usar aqui é Probabilidade Básica, mais especificamente funções de probabilidade para variáveis discretas. Vamos precisar calcular a probabilidade de tirar 0, 1 ou 2 bolas Pretas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os possíveis valores que $ X $ pode assumir. Como tiramos 2 bolas, $ X $ pode ser:
  • 0 (nenhuma bola Preta tirada),
  • 1 (uma bola Preta tirada),
  • 2 (duas bolas Pretas tiradas).

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada um desses casos. Como estamos fazendo retiradas com reposição, a probabilidade de tirar uma bola Preta ou Vermelha não muda entre as retiradas.
A probabilidade de tirar uma bola Preta em uma retirada é:
P(Preta) = 47
E a probabilidade de tirar uma bola Vermelha é:
P(Vermelha) = 37

Passo 4

Vamos calcular $ P(X = 0) $, que é a probabilidade de tirar 0 bolas Pretas em 2 retiradas. Isso significa que nas duas retiradas tiramos bolas Vermelhas. Como as retiradas são independentes:
P(X = 0)

Passo 5

Agora, $ P(X = 1) $ é a probabilidade de tirar 1 bola Preta e 1 bola Vermelha em 2 retiradas. Isso pode acontecer de duas formas:
  1. Tirar uma Preta na primeira retirada e uma Vermelha na segunda.
  2. Tirar uma Vermelha na primeira retirada e uma Preta na segunda.
Vamos calcular cada uma:
P(X = 1)
P(Preta, Vermelha) = (47) times (37) = 1249
Como esses dois eventos são mutuamente exclusivos, somamos as probabilidades:
P(Vermelha, Preta) = (37) times (47) = 1249

Passo 6

Por fim, vamos calcular $ P(X = 2) $, que é a probabilidade de tirar 2 bolas Pretas em 2 retiradas:
P(X = 2)

Passo 7

Agora que temos todas as probabilidades, podemos construir a função de probabilidade de $ X $. Ela fica assim:
X
Para representar isso graficamente, podemos desenhar um gráfico de barras onde o eixo horizontal representa os valores de $ X $ (0, 1, 2) e o eixo vertical representa as probabilidades correspondentes.

Resposta

A função de probabilidade de $ X $ é dada por:
X
O gráfico será um gráfico de barras com três barras, onde:
  • $ X = 0 $ tem altura $ \frac{9}{49} $,
  • $ X = 1 $ tem altura $ \frac{24}{49} $,
  • $ X = 2 $ tem altura $ \frac{16}{49} $.

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