Considere uma urna contendo 3 bolas Vermelhas e 4 Pretas. Retire 2 bolas, COM reposição, e defina a variável aleatória (v.a.) X igual ao número de bolas Pretas.
b) Construa o gráfico da função de prob. de X.
b) Construa o gráfico da função de prob. de X.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma urna com 3 bolas Vermelhas e 4 bolas Pretas, totalizando 7 bolas. A gente vai retirar 2 bolas, com reposição (ou seja, depois de tirar uma bola, a colocamos de volta na urna antes de tirar a próxima). A variável aleatória $ X $ representa o número de bolas Pretas que tiramos nessas duas retiradas. A matéria que vamos usar aqui é Probabilidade Básica, mais especificamente funções de probabilidade para variáveis discretas. Vamos precisar calcular a probabilidade de tirar 0, 1 ou 2 bolas Pretas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os possíveis valores que $ X $ pode assumir. Como tiramos 2 bolas, $ X $ pode ser:
- 0 (nenhuma bola Preta tirada),
- 1 (uma bola Preta tirada),
- 2 (duas bolas Pretas tiradas).
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de cada um desses casos. Como estamos fazendo retiradas com reposição, a probabilidade de tirar uma bola Preta ou Vermelha não muda entre as retiradas.
A probabilidade de tirar uma bola Preta em uma retirada é:
E a probabilidade de tirar uma bola Vermelha é:
Passo 4
Vamos calcular $ P(X = 0) $, que é a probabilidade de tirar 0 bolas Pretas em 2 retiradas. Isso significa que nas duas retiradas tiramos bolas Vermelhas. Como as retiradas são independentes:
Passo 5
Agora, $ P(X = 1) $ é a probabilidade de tirar 1 bola Preta e 1 bola Vermelha em 2 retiradas. Isso pode acontecer de duas formas:
- Tirar uma Preta na primeira retirada e uma Vermelha na segunda.
- Tirar uma Vermelha na primeira retirada e uma Preta na segunda.
Vamos calcular cada uma:
Como esses dois eventos são mutuamente exclusivos, somamos as probabilidades:
Passo 6
Por fim, vamos calcular $ P(X = 2) $, que é a probabilidade de tirar 2 bolas Pretas em 2 retiradas:
Passo 7
Agora que temos todas as probabilidades, podemos construir a função de probabilidade de $ X $. Ela fica assim:
Para representar isso graficamente, podemos desenhar um gráfico de barras onde o eixo horizontal representa os valores de $ X $ (0, 1, 2) e o eixo vertical representa as probabilidades correspondentes.
Resposta
A função de probabilidade de $ X $ é dada por:
O gráfico será um gráfico de barras com três barras, onde:
- $ X = 0 $ tem altura $ \frac{9}{49} $,
- $ X = 1 $ tem altura $ \frac{24}{49} $,
- $ X = 2 $ tem altura $ \frac{16}{49} $.