Seja Y uma variável aleatória com distribuição Binomial com parâmetros n=10 e p =0,4. Calcule a probabilidade de P(4 utilizando:
b) A aproximação da Binomial pela distr. Normal. Dica: não esqueça de aplicar a correção de continuidade (c.c.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma variável aleatória $ Y $ que segue uma distribuição Binomial com parâmetros $ n = 10 $ e $ p = 0,4 $. Queremos calcular a probabilidade de $ 4 < Y < 6 $ usando a aproximação da Binomial pela Distribuição Normal. Para isso, vamos precisar entender a distribuição binomial, a normal e aplicar a correção de continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a Distribuição Binomial é usada para contar o número de sucessos em $ n $ tentativas independentes, cada uma com probabilidade de sucesso $ p $. No nosso caso, $ n = 10 $ e $ p = 0,4 $.

Passo 3

A Distribuição Normal é uma boa aproximação para a Binomial quando $ n $ é grande e $ p $ não é muito próximo de 0 ou 1. A média ($ \mu n ã \sigma $) da Binomial são dados por:
p
mu

Passo 4

Agora, queremos calcular $ P(4 < Y < 6) $. Como a Distribuição Normal é contínua e a Binomial é discreta, precisamos aplicar a correção de continuidade. Isso significa ajustar os limites de 4 e 6 para incluir o intervalo corretamente:
P(4 < Y < 6)

Passo 5

Em termos da Distribuição Normal, isso se traduz em calcular a probabilidade de $ Y $ estar entre 4,5 e 5,5. Para isso, vamos padronizar esses valores usando a fórmula:
Y
Então,
Z = X - musigma
Z1 = 4,5 - 41,549 approx 0,323

Passo 6

Agora, precisamos encontrar as probabilidades correspondentes a esses valores de $ Z $ na tabela da Distribuição Normal Padrão:
Z
P(Z <= 0,968) approx 0,8330

Passo 7

A probabilidade que queremos é a diferença entre essas duas:
P(0,323 <= Z <= 0,968) = P(Z <= 0,968) - P(Z <= 0,323) approx 0,8330 - 0,6274 = 0,2056

Resposta

Portanto, a probabilidade de $ 4 < Y < 6 $ utilizando a aproximação da Binomial pela Distribuição Normal é aproximadamente $ 20,56% $.

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