Uma amostra de 50 lentes usadas em óculos produz uma espessura média amostral de 3.05 mm e um desvio padräo da amostra de 0.34 mm . A espessura média real desejada de tais lentes é de 3.20 mm . Os dados sugerem fortemente que a espessura média real das lentes é diferente da desejada? Teste usando
. Qual o p-valor do teste?
Sugestão: Como a amostra é grande, use a distribuição normal.
Sugestão: Como a amostra é grande, use a distribuição normal.
Passo 1
Vamos lá! Você tem uma amostra de 50 lentes que têm, em média, uma espessura de 3,05 mm, com um desvio padrão de 0,34 mm. O objetivo é verificar se essa média difere da espessura desejada de 3,20 mm. Vamos usar estatística inferencial, especificamente um teste de hipótese para a média, e vamos precisar da distribuição normal para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as hipóteses:
- Hipótese Nula (H₀): A média real das lentes é igual à desejada, ou seja, μ = 3,20 mm.
- Hipótese Alternativa (H₁): A média real das lentes é diferente da desejada, ou seja, μ ≠ 3,20 mm.
Passo 3
Como a amostra é grande (n = 50), podemos usar a distribuição normal para realizar o teste. Vamos calcular o erro padrão da média (EPM), que é dado por:
Passo 4
Agora, calculamos o valor do teste z, que mede quantos desvios padrões a média amostral está distante da média hipotética:
Passo 5
Em seguida, vamos encontrar o p-valor correspondente a esse z. Como é um teste bilateral (diferença pode ser para mais ou para menos), multiplicamos a área de uma cauda por 2:
Para z ≈ -3,125, a área à esquerda é bem pequena. Usando uma tabela de distribuição normal ou uma calculadora:
Passo 6
Finalmente, comparamos o p-valor com o nível de significância α = 0,12:
Como o p-valor é menor que α, rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Os dados sugerem fortemente que a espessura média real das lentes é diferente da desejada. O p-valor do teste é aproximadamente 0,0018.