Uma amostra de 50 lentes usadas em óculos produz uma espessura média amostral de 3.05 mm e um desvio padräo da amostra de 0.34 mm . A espessura média real desejada de tais lentes é de 3.20 mm . Os dados sugerem fortemente que a espessura média real das lentes é diferente da desejada? Teste usando alpha=0.12. Qual o p-valor do teste?
Sugestão: Como a amostra é grande, use a distribuição normal.

Passo 1

Vamos lá! Você tem uma amostra de 50 lentes que têm, em média, uma espessura de 3,05 mm, com um desvio padrão de 0,34 mm. O objetivo é verificar se essa média difere da espessura desejada de 3,20 mm. Vamos usar estatística inferencial, especificamente um teste de hipótese para a média, e vamos precisar da distribuição normal para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses:
  • Hipótese Nula (H₀): A média real das lentes é igual à desejada, ou seja, μ = 3,20 mm.
  • Hipótese Alternativa (H₁): A média real das lentes é diferente da desejada, ou seja, μ ≠ 3,20 mm.

Passo 3

Como a amostra é grande (n = 50), podemos usar a distribuição normal para realizar o teste. Vamos calcular o erro padrão da média (EPM), que é dado por:
EPM = sigmaraizn = 0,34raiz50 approx 0,048

Passo 4

Agora, calculamos o valor do teste z, que mede quantos desvios padrões a média amostral está distante da média hipotética:
z = barx - muEPM = 3,05 - 3,200,048 approx -0,150,048 approx -3,125

Passo 5

Em seguida, vamos encontrar o p-valor correspondente a esse z. Como é um teste bilateral (diferença pode ser para mais ou para menos), multiplicamos a área de uma cauda por 2:
Para z ≈ -3,125, a área à esquerda é bem pequena. Usando uma tabela de distribuição normal ou uma calculadora:
p-valor = 2 times P(Z <= -3,125) approx 2 times 0,0009 = 0,0018

Passo 6

Finalmente, comparamos o p-valor com o nível de significância α = 0,12:
0,0018 < 0,12
Como o p-valor é menor que α, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Os dados sugerem fortemente que a espessura média real das lentes é diferente da desejada. O p-valor do teste é aproximadamente 0,0018.

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