Um plano de fidelidade de viagens de executivos foi desenvolvido por uma companhia aérea sob a premissa de que 5% de seus clientes atuais se qualificariam para serem membros. Uma amostra aleatória de 500 clientes resultou em 40 que se qualificaram.
Qual o p-valor deste teste?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. A questão fala sobre um programa de fidelidade de uma companhia aérea que acredita que 5% dos clientes atuais vão se qualificar para serem membros. Queremos verificar se essa afirmação está correta usando uma amostra de 500 clientes, dos quais 40 se qualificaram. Para resolver isso, vamos usar Teste de Hipótese para uma proporção. Precisamos calcular o p-valor para ver se os resultados da amostra diferem significativamente da hipótese inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossas hipóteses. A hipótese nula ( H0) é a afirmação que queremos testar, que neste caso é que a proporção verdadeira de clientes que se qualificam é 5%, ou seja, p0 = 0,05. A hipótese alternativa ( Ha) será que a proporção é diferente de 5%, ou seja, p neq 0,05.

Passo 3

Agora, vamos calcular a proporção observada na amostra. Temos 40 clientes que se qualificaram de um total de 500. Então, a proporção amostral ( p) é:
p = 40500 = 0,08

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular o erro padrão da proporção sob a hipótese nula. A fórmula para o erro padrão ( SE) é:
SE = raizp0 (1 - p0)n
Substituindo os valores:
SE = raiz0,05 times (1 - 0,05)500 = raiz0,05 times 0,95500 = raiz0,0475500 = raiz0,000095 approx 0,00975

Passo 5

Agora, vamos calcular o estatístico de teste ( z), que nos diz quantos desvios padrão a proporção amostral está da hipótese nula:
z = p - p0SE = 0,08 - 0,050,00975 approx 0,030,00975 approx 3,077

Passo 6

Com o valor de z approx 3,077, precisamos encontrar o p-valor. Como a hipótese alternativa é bilateral ( p neq 0,05), o p-valor será duas vezes a probabilidade de obter um valor de z maior que 3,077 em uma distribuição normal padrão.
Usando uma tabela de distribuição normal ou uma calculadora, encontramos que a probabilidade de Z > 3,077 é aproximadamente 0,0010. Então:
p-valor = 2 times 0,0010 = 0,0020

Resposta

O p-valor deste teste é aproximadamente 0,0020.

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